Übungsaufgaben zur Vorlesung Funktionentheorie SS 10, Serie 10 PD Dr. M. Simon 30.Juni 2010 Florian Link

Aufgabe 1 (Meromorphe Funktionen) (4 Punkte) Definition: Sei U ⊂ ℂ offen und f, g : U → ℂ ∪ {∞} meromorph. Summe und Produkt zweier meromorpher Funktionen kann man wie folgt erklären: Sei zunächst f ·g, f +g : U\{f^{−1}{∞}∪g^{−1}{∞}} → ℂ wie üblich definiert. Für alle p ∈ f^{−1}{∞}∪ g^{−1}{∞} derart, dass f · g an der Stelle p eine hebbare Singularität hat, setzen wir f · g auf (U\(f^{−1}{∞} ∪ g^{−1}{∞})) ∪ {p} holomorph fort. Falls p ∈ f^{−1}{∞} ∪ g^{−1}{∞} derart, dass p eine nicht-hebbare Singularität von f · g ist, dann setzt man (f · g)(p) := ∞. Die gleiche Prozedur macht man für f + g. Zeigen Sie: f +g : U → ℂ∪{∞} und f ·g : U → ℂ∪{∞} sind meromorph. Beweisen Sie außerdem, unter der zusätzlichen Voraussetzung dass U zusammenhängend ist, dass

K_{U} := {f| f : U → ℂ ist meromorph}

mit den Verknüpfungen ‘ + ‘ und ‘ · ‘, wie oben definiert, ein Körper ist.

Aufgabe 2 (Umlaufzahl Teil 1) (4 Punkte) Sei γ : [0, 1] → ℂ\{p} ein geschlossener Weg. Weisen Sie nach, dass ein n ∈ ℤ existiert, so dass γ frei homotop in ℂ\{p} zu γ_{n} : [0, 1] → ℂ\{p}, γ_{n}(t) := p + e^{i2πnt} ist. Hinweis: Benutzen Sie Serie 3, Aufgabe 3 (Lift).

Aufgabe 3 (Umlaufzahl Teil 2) (4 Punkte) Sei γ, γ_{n} (n ∈ ℤ) wie oben in Aufgabe 2. Beweisen Sie mit Hilfe von Aufgabe 2, dass

(Um(γ, p) = )\frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{1}{z − p} dz = n.

Folgern Sie, dass n eindeutig bestimmt ist!

Aufgabe 4 (Laurentreihe) (4 Punkte) Für U ⊂ ℂ offen sei f : U\{p} → ℂ holomorph und p eine hebbare Singularität. Für B_{ε}(p) ⊂ U sei

f(z) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}(z − p)^{k}

für alle z ∈ B_{ε}(p)\{p} die Entwicklung von f|_{B_{ε}(p)\{p}} in eine Laurentreihe. Zeigen Sie: c_{k} = 0 für alle k ≤ −1. (D.h. die Laurentreihenentwicklung von f|_{B_{ε}(p)\{p}} stimmt mit der Potenzreihenentwicklung von f̃|_{B_{ε}(p)} überein, wobei f̃ die holomorphe Fortsetzung von f|_{B_{ε}(p)\{p}} auf B_{ε}(p) ist.)

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 07.07.2010 bis 11:15 Uhr. Viel Spaß!