Übungsaufgaben zur Vorlesung Funktionentheorie SS 10, Serie 11 PD Dr. M. Simon 07.Juli 2010 Florian Link

Aufgabe 1 (Residuum) Sei B_{ε}(0)\{0} → ℂ holomorph mit einem Pol der Ordnung N ≥ 1 in 0 und g : B_{ε}(0) → ℂ sei holomorph. Sei weiter

f(z) =: ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}z^{k} auf B_{ε}(0)\{0}

die Laurententwicklung von f (um Null), und

g(z) =: ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} auf B_{ε}(0)

die Potenzreihenentwicklung von g (um Null). Berechnen Sie Res(f · g, 0).

Aufgabe 2 (Residuensatz/Berechnen reeller Integrale - Teil 1) Berechnen Sie

lim_{ρ↘0} ( ∫_{−∞}^{−1−ρ}\frac{10x}{x^{3} + 1}dx + ∫_{−1+ρ}^{∞} \frac{10x}{x^{3} + 1}dx)

mit Hilfe des Residuensatzes (vgl. Beispiel 1 der Vorlesung).

Aufgabe 3 (Residuensatz/Berechnen reeller Integrale - Teil 2) Berechnen Sie

lim_{ρ↘0} ( ∫_{−∞}^{−1−ρ}\frac{10x cos(x)}{x^{3} + 1}dx + ∫_{−1+ρ}^{∞} \frac{10x cos(x)}{x^{3} + 1}dx)

mit Hilfe des Residuensatzes (vgl. Beispiel 1 der Vorlesung).

Aufgabe 4 (Berechnen komplexer Integrale) Sei γ : [0, 1] → B\sqrt{π}(0)\\{0\} ein Weg mit Um(γ, 0) = 1. Berechnen Sie

∫_{γ} \frac{2z}{tan(z^{2})} dz.

Hinweis: Schreiben Sie z ↦ \frac{2z}{tan(z^{2})} als \frac{f′}{f} für eine geeignete Funktion f.

Die Aufgaben sind freiwillig. Viel Erfolg bei der Klausurvorbereitung!