Übungsaufgaben zur Vorlesung Funktionentheorie SS 10, Serie 3 PD Dr. M. Simon 5.Mai 2010 Florian Link

Aufgabe 1 (Logarithmusfunktionen). (4 Punkte) Sei Log : ℂ\ℝ_{0}^{+} =: M → ℂ definiert wie in der Vorlesung und u, v : M ⊂ ℝ^{2} → ℝ gegeben durch Log(z) = log(z) =: u(x, y) + iv(x, y) für alle z = x + iy ∈ M. Weisen Sie nach:

i) u, v ∈ C^{∞}(M, ℝ)

ii) u und v erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Nach Serie 2, Aufgabe 3 folgt somit die Holomorphie von Log auf M.

Aufgabe 2 (Logarithmusfunktionen). (4 Punkte) Für α ∈ [0, 2π) sei L_{α}^{+} = {re^{iα}|r ≥ 0} ⊂ ℂ. Sei außerdem R_{α} : ℂ → ℂ definiert durch R_{α}(z) := e^{iα} · z die ”Rotation um den Winkel α“ und

Log_{n,α} : \{ \begin{matrix}ℂ\L_{α}^{+} → ℂ \\ z ⟼ log_{n} ((R_{α})^{−1}(z)) + iα \end{matrix} .

Zeigen Sie:

i) exp (Log_{n,α}(z)) = z für alle z ∈ ℂ\L_{α}^{+}

ii) Log_{n,α}(z) = log_{n+1}(z) für alle z ∈ M_{1} := {re^{iβ}|r > 0, β ∈ [0, α)} ⊂ ℂ und Log_{n,α}(z) = log_{n}(z) für alle z ∈ M_{2} := {re^{iβ}|r > 0, β ∈ [α, 2π)} ⊂ ℂ.

Aufgabe 3 (Lift). (4 Punkte) Sei γ : [a, b] → ℂ\{0} von der Klasse C^{k}. Zeigen Sie: Es existiert ein θ : [a, b] → ℝ, θ ∈ C^{k}([a, b], ℝ) mit

\frac{γ(t)}{|γ(t)|} = e^{iθ(t)}

für alle t ∈ [a, b]. Bemerkung: θ : [a, b] → ℝ heißt ein Lift von γ : [a, b] → ℂ.

Aufgabe 4 (n-te Wurzelfunktion). (4 Punkte) Seien z ∈ ℂ und k ∈ ℕ gegeben.

i) Geben Sie alle Lösungen w ∈ ℂ von w^{k} = z an!

ii) Zeigen Sie: Es existiert eine holomorphe Funktion g : ℂ\ℝ_{0}^{+} → ℂ mit

(g(z))^{k} = z

für alle z ∈ ℂ\ℝ_{0}^{+}. (bitte wenden!) iii) Zeigen Sie: Es existiert eine stetige Funktion g̃: (ℂ\ℝ_{0}^{+}) ∪ {0} → ℂ mit

(g̃(z))^{k} = z

für alle z ∈ ℂ\ℝ^{+}.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 12.05.2010 bis 11:15 Uhr direkt vor dem Vorlesungssaal.