Übungsaufgaben zur Vorlesung Funktionentheorie SS 10, Serie 6 PD Dr. M. Simon 02.Juni 2010 Florian Link

Aufgabe 1 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip) (4 Punkte) Für Ṽ ⊆ ℂ offen und V := Ṽ ∩ {z ∈ ℂ| Im(z) ≥ 0} sei U := V ∪ V̄ , wobei hier V̄ := { z̄| z ∈ V } (nicht den topologischen Abschluss bezeichnet).

i) Zeigen Sie, dass U und V \ℝ offene Mengen in ℂ sind.

ii) Sei f : V → ℂ stetig, f|_{V \ℝ} holomorph, und f|_{V ∩ℝ}(z) ∈ ℝ ⊂ ℂ für alle z ∈ V ∩ ℝ. Sei außerdem g : U → ℂ definiert durch

g(z) := \{ \begin{matrix}f(z), & falls z ∈ V \\ \overline{f(z̄)}, & falls z ∈ V̄ \end{matrix} .

Zeigen Sie: g : U → ℂ ist wohldefiniert und holomorph.Hinweis: Korollar 9.9.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei U ⊆ ℂ offen,

f : \{ \begin{matrix}U × [a, b] → ℂ \\ (z, t) ↦ f(z, t) \end{matrix}

stetig und f( · , t) : U → ℂ holomorph für alle t ∈ [a, b]. Beweisen Sie: F : U → ℂ, definiert durch

F (z) := ∫_{a}^{b}f(z, t) dt

ist holomorph. Hinweis: Satz von Morera

Aufgabe 3 (logarithmische Reihe) (4 Punkte) Sei l̃og : ℂ\ℝ_{0}^{−} → ℂ definiert durch

l̃og(z) = log(|z|) + i arg(e^{−iπ}z) − iπ

(d.h. l̃og = log_{0,π}).

i) Zeigen Sie: f : B_{1}(0) ⊆ ℂ → ℂ, definiert durch f(z) := l̃og(1 + z), besitzt

die Potenzreihenentwicklung f(z) = z − \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} − \frac{z^{4}}{4} + … = ∑_{ν=0}^{∞} \frac{f^{(ν)}(0)}{ν!}z^{ν}.

Bemerkung: l̃og wird manchmal Hauptzweig des Logarithmus genannt. (bitte wenden!)

ii) Was ist der Konvergenzradius der Reihe z− \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} − \frac{z^{4}}{4} +…? (mit Nachweis!)

Bonusaufgabe (zur logarithmischen Reihe) (4 Zusatzpunkte)

i) Sei a_{ν} eine reelle, monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert die Potenzreihe

∑_{ν=0}^{∞} a_{ν}z^{ν} gleichmäßig auf jedem Kompaktum K ⊂ \overline{B_{1}(0)}\\{1\} ⊂ ℂ.

ii) Die logarithmische Reihe z − \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} − \frac{z^{4}}{4} + … konvergiert gleichmäßig

auf jedem Kompaktum K ⊂ \overline{B_{1}(0)}\\{−1\} (d.h. konvergiert kompakt in \overline{B_{1}(0)}\\{−1\}.)

Hinweis zu Teil i): Betrachten Sie zunächst die Reihe (1 − z) ∑_{ν=0}^{∞} a_{ν}z^{ν}.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Für U ⊆ ℂ offen sei f : U → ℂ holomorph und B_{R}(p) ⊆ U. Zeigen Sie:

|f^{(n)}(p)| ≤ \frac{n!}{R^{n}} sup_{|z−p|=R}|f(z)|.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 09.06.2010 bis 11:15 Uhr.