Übungsaufgaben zur Vorlesung Funktionentheorie SS 10, Serie 7 PD Dr. M. Simon 09.Juni 2010 Florian Link

Aufgabe 1 (Potenzreihen) (4 Punkte) Seien α, z ∈ ℂ mit |z| < 1. Für k ∈ ℕ ist

( \begin{matrix}α \\ k \end{matrix} ) := \frac{α(α − 1) · . . . · (α − k + 1)}{k(k − 1) · . . . · 1} und ( \begin{matrix}α \\ 0 \end{matrix} ) := 1.

Zeigen Sie:

(1 + z)^{α} = ∑_{k=0}^{∞} ( \begin{matrix}α \\ k \end{matrix} ) z^{k},

wobei (1 + z)^{α} := exp (αl̃og(z + 1)) und l̃og : ℂ\ℝ_{0}^{−} → ℂ der Hauptzweig des Logarithmus ist (siehe Serie 6, Aufgabe 3).

Aufgabe 2 (Potenzreihen) (4 Punkte) Für U, V ⊂ ℂ offen seien f : U → ℂ, g : V → ℂ holomorph mit f(U) ⊂ V. Für ε > 0 und z, w ∈ B_{ϵ}(0) seien

f(p + z) = ∑_{ν=0}^{∞} a_{ν}z^{ν} und g(f(p) + w) = ∑_{μ=0}^{∞} b_{μ}w^{μ}

Taylorentwicklungen von f um p bzw. von g um f(p). Sei g(f(p + z)) = ∑_{λ=0}^{∞} c_{λ}z^{λ} für

alle z ∈ B_{ε}(0). Bestimmen Sie {c_{λ}}_{λ=0}^{∞} mittels {a_{ν}}_{ν=0}^{∞} und {b_{μ}}_{μ=0}^{∞} (mit Nachweis!). Hinweise: Man kann ohne Einschränkung annehmen, dass p=f(p)=0. Umordnungssatz für Doppelreihen.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Sei f : ℝ → ℂ eine Funktion und g, h : ℂ → ℂ holomorphe Fortsetzungen von f, d.h. g und h sind holomorph und es gilt g|_{ℝ}= h|_{ℝ}= f. Zeigen Sie: h ≡ g.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Für U ⊂ ℂ offen sei f : U → V ⊂ ℂ bijektiv und holomorph. Man zeige: V ist offen und f^{−1} : V → U ist holomorph.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 16.06.2010 bis 11:15 Uhr. Viel Spaß!