Übungsaufgaben zur Vorlesung Funktionentheorie SS 10, Serie 8 PD Dr. M. Simon 16.Juni 2010 Florian Link

Aufgabe 1 (Maximumprinzip für Sub-/Superharmonische Funktionen) (4 Punkte) Für B_{R}(0) ⊂ ℝ^{n} sei u ∈ C^{0}(\overline{B_{R}(0)}) ∩ C^{2}(B_{R}(0)) subharmonisch (superharmonisch) auf B_{R}(0), d.h.

Δu\begin{matrix}≥ \\ (≤) \end{matrix}0 auf B_{R}(0).

Man zeige:

sup_{B_{R}(0)} u = sup_{∂B_{R}(0)} u

(bzw. inf_{B_{R}(0)} u = inf_{∂B_{R}(0)} u).

Hinweis: Untersuchen Sie v_{ε}(x) := u(x) + ε|x|^{2}.

Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei f : ℂ → ℂ holomorph mit

lim_{R→∞} sup_{z∈ℂ\B_{R}(0)}Re(f(z)) = 0.

Zeigen Sie: f ≡ const. Hinweis: Re(f) ist harmonisch. Verwenden Sie Aufgabe 1.

Aufgabe 3 (1.Schritt für Aufgabe 4) (4 Punkte) Sei u : ℂ\{−1} → ℝ definiert durch

u(z) := log (|1 + z|),

wobei log : ℝ^{+} → ℝ der reelle Logarithmus ist. Zeigen Sie:

lim_{ε↘0} ∫_{−π+ε}^{π−ε} u(e^{it})dt = 0.

Hinweis: Untersuchen Sie das Wegintegral der auf U := ℂ\{−1, 0} holomorphen Funktion z^{−1}u(z) über einen geeigneten in U zusammenziehbaren Weg und verwenden Sie dann den Cauchy’schen Integralsatz.

Aufgabe 4 (Berechnung reeller Integrale mit funktionenth. Hilfsmitteln)(4 Punkte) Berechnen Sie

lim_{ε↘0} ∫_{ε}^{π−ε}log ( sin(t))dt.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst |1+e^{it}| = |2 cos(t/2)| und verwenden Sie dann Aufgabe 3.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 23.06.2010 bis 11:15 Uhr. Viel Spaß!