Übungsaufgaben zur Vorlesung Funktionentheorie SS 10, Serie 9 PD Dr. M. Simon 23.Juni 2010 Florian Link

Aufgabe 1 (Dirichlet-Problem) (4 Punkte) Zeigen Sie: Es existiert eine Funktion u : B_{1}(0) ⊂ ℝ^{2} → ℝ, u ∈ C^{∞}(B_{1}(0), ℝ) mit Δu = 0 auf B_{1}(0) und sup_{B_{1}(0)}|u| < ∞, welche keine harmonische Fortsetzung besitzt. Dabei nennt man v : B_{1+ε}(0) → ℝ eine harmonische Fortsetzung von u, falls v|_{B_{1}(0)}≡ u und v : B_{1+ε}(0) → ℝ harmonisch ist. Hinweis: Lösung eines Dirichlet-Problems.

Aufgabe 2 (Dirichlet-Problem) (4 Punkte) Sei ϕ ∈ C^{0}(∂B_{1}^{2}(0), ℝ). Weisen Sie die Existenz einer Funktion u : ℂ\B_{1}(0) → ℝ mit u ∈ C^{∞}(ℂ\\overline{B_{1}(0)}, ℝ) ∩ C^{0}(ℂ\B_{1}(0), ℝ) nach, so dass diese

\{ \begin{matrix}Δu = 0 & auf ℂ\\overline{B_{1}(0)} \\ u = ϕ & auf ∂B_{1}(0) \end{matrix}

erfüllt! Hinweis: Dirichlet-Problem.

Aufgabe 3 (Hebbare Singularitäten) (4 Punkte) Sei f : ℂ\\overline{B_{1}(0)} → ℂ holomorph mit sup_{ℂ\\overline{B_{1}(0)}}|f| < ∞. Sei g : B_{1}(0)\\{0\} → ℂ definiert

durch g(z) := f(1/z). Weisen Sie nach: g hat eine hebbare Singularität in 0.

Bonusaufgabe(Hebbare Singularitäten/Satz von Liouville) (4 Zusatzpunkte) Beweisen Sie mit Hilfe von Aufgabe 3 den Satz von Liouville für eine Funktion f : ℂ → ℂ! Hinweis: Untersuchen Sie |z_{k}| für eine Maximalfolge |f(z_{k})| → sup_{ℂ}|f|.

Aufgabe 4 (Pole) (4 Punkte) Für U ⊂ ℂ offen und p ∈ U seien f : U\{p} → ℂ, g : U\{p} → ℂ holomorph. p sei ein Pol der Ordnung n von f und p ein Pol der Ordnung m von g. Zeigen Sie: f · g : U\{p} → ℂ hat einen Pol der Ordnung n+m.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Mittwoch, 30.06.2010 bis 11:15 Uhr. Viel Spaß!