MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 8. Mai 2000 Dr. T. Müller

Nichtlineare Funktionalanalysis SS 2000 Übungsblatt 1

\underline{AUFGABE 1:} Berechnen Sie für ein komplexes Polynom f(z) den Index ind(f, z_{0}).

\underline{AUFGABE 2:} Beweisen Sie für f ∈ C^{0}(I), I = (a, b), die Formel

deg(f, I, y) = \frac{1}{2}(sign(f(b) − y) − sign(f(a) − y)).

\underline{AUFGABE 3:} Sei f ∈ C^{0}(ℝ^{n}, ℝ^{n}) mit ⟨f(x), \frac{x}{|x|}⟩ → ∞ für |x| → ∞. Dann gilt f(ℝ^{n}) = ℝ^{n}.

\underline{AUFGABE 4:} Das Gleichungssystem

2x + y + sin(x + y) = 0
x − 2y + cos(x + y) = 0

hat eine Lösung (x, y) in B_{r}(0), falls z.B. r > \frac{1}{\sqrt{5}}.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 15.05.2000