MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 22. Mai 2000 Dr. T. Müller

Nichtlineare Funktionalanalysis SS 2000 Übungsblatt 3

\underline{AUFGABE 1:} Folgern Sie durch Approximation aus dem Fixpunktsatz von Brouwer: Ist K ≠ ∅ eine abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge eines Banachraumes X, so hat jede kompakte Abbildung g ∈ C^{0}(K, K) einen Fixpunkt.

\underline{AUFGABE 2:} (Ham Sandwich Theorem) Seien A_{1}, A_{2}, A_{3} ⊂ ℝ^{3} meßbar mit Lebesguemaß μ(A_{i}) < ∞. Dann existiert ein affiner Halbraum H mit μ(A_{i} ∩ H) = μ(A_{i} \ H) für i = 1, 2, 3. Anleitung: Betrachten Sie auf S^{3} ⊂ ℝ^{4} die stetige (!) Funktion f : S^{3} → ℝ^{3} mit f^{i}(cos θ · ω, sin θ) = μ({x ∈ A_{i} : ⟨x, ω⟩ < tan θ}), wobei ω ∈ S^{2}, −π/2 ≤ θ ≤ π/2.

\underline{AUFGABE 3:} Beweisen Sie, daß der in der Vorlesung definierte Leray-Schauder Abbildungsgrad die drei Axiome erfüllt und daß der Grad durch die Axiome eindeutig bestimmt ist.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 29.05.2000