MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 29. Mai 2000 Dr. T. Müller

Nichtlineare Funktionalanalysis SS 2000 Übungsblatt 4

\underline{AUFGABE 1:} Sei Z = \{z = (z^{i})_{i∈ℕ} ∈ ℓ^{∞}(ℝ) : lim_{i→∞} z^{i} = 0\} der Banachraum der reellen Nullfolgen, und f : Z → Z, f(z)^{i} = \sqrt{|z^{i}|}. Betrachten Sie für ϵ ∈ Z mit ϵ^{i} > 0 für alle i ∈ ℕ das Anfangswertproblem

u′(t) = f(u(t)) 0 ≤ t ≤ τ
u(0) = ϵ.

Zeigen Sie, daß für kein τ > 0 eine C^{1}-Lösung existiert. Welche Voraussetzungen des Existenzsatzes von Peano (Satz 4, Vorlesung) sind erfüllt bzw. verletzt?

\underline{AUFGABE 2:} Seien Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet und f ∈ C^{0}(\overline{Ω} × ℝ × ℝ^{n}) mit sublinearem Wachstum in u, Du:

|f(x, z, p)| ≤ c(1 + |z|^{γ} + |p|^{γ}) (0 ≤ γ < 1).

Formulieren Sie das Randwertproblem

−Δu = f(x, u, Du) in Ω
u = 0  auf ∂Ω

als Fixpunktproblem in H_{0}^{1,2}(Ω) und weisen Sie die Existenz einer Lösung nach (∂Ω ∈ C^{2}).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 5.06.2000