MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 6. Juni 2000 Dr. T. Müller

Nichtlineare Funktionalanalysis SS 2000 Übungsblatt 5

\underline{AUFGABE 1:} Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt. Zeigen Sie, daß das nichtparametrische Flächenfunktional

F (u) = ∫_{Ω} f(Du), f(p) = (1 + |p|^{2})^{1/2}

auf W^{1,2}(Ω) differenzierbar ist, nicht aber auf W^{1,1}(Ω).

\underline{AUFGABE 2:} Untersuchen Sie die auf L^{1}(μ) gegebene Norm

F (u) = ∫_{Ω} |u|dμ

hinsichtlich der Existenz von Richtungsableitungen ∂_{v}F (u) und auf Fréchet-Differenzier-barkeit.

\underline{AUFGABE 3:} Betrachten Sie auf dem Banachraum Z = \{z ∈ ℓ^{∞}(ℝ) : lim_{i→∞} z^{i} = 0\} die Abbildung

f : Z → Z, f(z)^{i} = (z^{i})^{3}

und zeigen Sie

a) f ist in jedem z ∈ Z differenzierbar,

b) f ist nicht kompakt,

c) Df(z) ist für alle z ∈ Z kompakt.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 19.06.2000