MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 23. Juni 2000 Dr. T. Müller

Nichtlineare Funktionalanalysis SS 2000 Übungsblatt 6

\underline{AUFGABE 1:} (Eulerscher Knickstab) Ein elastischer Stab der Länge Eins sei mit dem einen Ende drehbar im Punkt (0, 0) ∈ ℝ^{2} gelagert, das andere Ende sei frei beweglich auf der positiven y-Achse. Durch Anhängen eines Gewichtes p = mg > 0 werde der Stab verbogen:

0  x y  g p α β 1  θ c′(s) − sin θ(s) cos θ(s)

Wir beschreiben den Stab durch eine längentreue Abbildung c : [0, 1] → ℝ^{2}, c(s) = (x(s), y(s)) und |c′(s)| = 1, mit den Randbedingungen x(0) = y(0) = 0, x(1) = 0. Die potentielle Energie des Systems ist Summe der Biegeenergie des Stabes und der Lageenergie des Gewichtes, das heißt

E(c) = \frac{σ}{2} ∫_{0}^{1} κ(s)^{2}ds + py(1),

wobei κ(s) = |c′′(s)| die Krümmung und σ > 0 eine Konstante (abhängig von Material und Querschnitt des Stabes) ist. Wir machen den Ansatz

c(s) = ∫_{0}^{s}(− sin θ(t), cos θ(t))dt,

wobei θ(s) ∈ (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) der gegen den Uhrzeigersinn gemessene Winkel ist, den c′ mit der positiven y-Achse einschließt. Als Funktion von θ erhalten wir

E(θ) = \frac{σ}{2} ∫_{0}^{1} θ′(s)^{2}ds + p ∫_{0}^{1} cos θ(s)ds,

und die Randbedingung lautet

∫_{0}^{1} sin θ(s)ds = 0.

(1) Zeigen Sie, daß eine Gleichgewichtslage durch die Gleichungen

θ′′ + λ^{2} sin θ = 0  (λ^{2} = \frac{p}{σ} > 0)
θ′(0) = θ′(1) = 0

beschrieben wird.

(2) Die Funktion θ(s) ≡ 0 ist die triviale Lösung. Untersuchen Sie, für welche λ (bzw. für welche Knicklasten p = σλ^{2}) Verzweigung auftritt und zeichnen Sie ein Bifurkationsdiagramm.

\underline{AUFGABE 2:} Betrachten Sie das Randwertproblem

Δu + λg(u) = 0, u = 0 auf ∂Ω,

unter den Annahmen g(0) = 0, g′(0) ≠ 0, g′′(0) = 0 und g′′′(0) ≠ 0. Skizzieren Sie die Verzweigungskurve bei einem einfachen Eigenwert μ = λ_{0}g′(0) > 0 von −Δ, je nach Vorzeichen von g′′′(0).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 03.07.2000