MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 18. Juli 2000 Dr. T. Müller

Nichtlineare Funktionalanalysis SS 2000 Übungsblatt 7

\underline{AUFGABE 1:} Gegeben sei das Funktional

I(u) := ∫_{0}^{1}(x − u^{3})^{2}u^{′6} dx

und die Menge

A := {u ∈ C^{0,1}([0, 1])|u(0) = 0 und u(1) = 1}.

Man zeige:

(a) Es seien 0 < α < β < 1 gegeben. Dann existiert eine von α und β unabhängige Konstante c_{0} > 0, so daß gilt:

I(u) ≥ \frac{7^{2}}{2^{6}} ∫_{α}^{β} x^{2}u^{′6} dx ≥ c_{0}

für u ∈ C^{0,1}([0, 1]) mit \frac{1}{4}x^{\frac{1}{3}} ≤ u(x) ≤ \frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}} , u(α) = \frac{1}{4}α^{\frac{1}{3}} und u(β) = \frac{1}{2}β^{\frac{1}{3}} .

Hinweis: Transformieren Sie das rechte Integral, so daß der Integrand nur (u′)^{6} lautet und verwenden Sie die Jensen’sche Ungleichung.

(b) Für jede Funktion u ∈ C^{0,1}([0, 1]) mit u(0) = 0 und u(1) = 1 existieren 0 < α < β < 1 mit \frac{1}{4}x^{\frac{1}{3}} ≤ u(x) ≤ \frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}} für alle x ∈ [α, β] und u(α) = \frac{1}{4}α^{\frac{1}{3}} , u(β) = \frac{1}{2}β^{\frac{1}{3}} .

(c) inf{I(u)|u ∈ A} > inf{I(u)|u ∈ H^{1,1}((0, 1)) mit u(0) = 0 und u(1) = 1}. (Dies nennt man “Lavrentiev-Phänomen”).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 10.07.2000