MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 10. Juli 2000 Dr. T. Müller

Nichtlineare Funktionalanalysis SS 2000 Übungsblatt 8

\underline{AUFGABE 1:} Es sei B ⊂ ℝ^{2} die offene Einheitskreisscheibe.

a) Zeigen Sie, daß die Menge W^{1,2}(ℝ^{2}, S^{2}) = {u ∈ W^{1,2}(ℝ^{2}, ℝ^{3}) : |u(x)| = 1 fast überall } unter schwacher Konvergenz in W^{1,2}(ℝ^{2}, ℝ^{3}) abgeschlossen ist.

b) Begründen Sie, daß das Funktional

F (u) := \frac{1}{2} ∫_{B} |Du|^{2}dx + λ ∫_{B}⟨u, ∂_{1}u × ∂_{2}u⟩dx.

unterhalbstetig bzgl. dieser Konvergenz ist, falls |λ| ≤ 1.

c) Finden Sie ein Gegenbeispiel zur Unterhalbstetigkeit im Fall |λ| > 1.

\underline{AUFGABE 2:} Es sei I = (0, 1). Betrachten Sie auf W^{1,∞}(I) die Funktionale

F (u) := ∫_{0}^{1}(u_{x}^{2} − 1)^{2}dx und G(u) := ∫_{0}^{1}(u_{x}^{2} − 1)^{2} + u^{2}dx.

unter Nullrandbedingungen u(0) = u(1) = 0.

a) Zeigen Sie, daß inf F = 0 und geben Sie eine unendliche Folge von Minimierern an.

b) Ebenso gilt inf G = 0, aber das Infimum wird nicht angenommen.

c) Keines der beiden Funktionale F und G ist unterhalbstetig bzgl. u_{k} → u gleichmäßig auf I, Du_{k} → Du schwach∗ in L^{∞}(I) = L^{1}(I)′.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 17.07.2000