Übungsaufgaben zur Analysis II SS 02, Serie 1 Prof. Dr. E. Kuwert 16. April 2002

Aufgabe 1 (p-Normen) Sei ∥x∥_{p} = (∑_{i=1}^{n} |x^{i}|^{p})^{1/p} für x ∈ ℝ^{n} und p ≥ 1. Beweisen Sie für p < q die Ungleichungen

∥x∥_{q} ≤ ∥x∥_{p} ≤ n^{1/p−1/q} ∥x∥_{q}.

Sind diese Abschätzungen optimal? Zeigen Sie weiter lim_{p→∞} ∥x∥_{p} = ∥x∥_{∞} und skizzieren Sie die Einheitskugel \{x ∈ ℝ^{2} : ∥x∥_{p} < 1\} in den Fällen p = 1, \frac{3}{2}, 2, 3, ∞.

Aufgabe 2 (Stetigkeit und Urbilder) Seien (X, ∥ · ∥), (Y, ∥ · ∥) normierte Räume sowie Ω ⊂ X offen. Zeigen Sie, dass für eine Abbildung f : Ω → Y folgende Aussagen äquivalent sind:

(1) f ist stetig.

(2) Für alle offenen V ⊂ Y ist das Urbild f^{−1}(V) offen in X.

Aufgabe 3 (Abschluss und Inneres) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) \overline{\overline{M}} = \overline{M} für alle M ⊂ ℝ^{n}.

(b) int(\overline{Ω}) = Ω für alle offenen Ω ⊂ ℝ^{n}.

(c) ∂(∂M) = ∂M für alle M ⊂ ℝ^{n}.

Aufgabe 4 (Stetige Bilder kompakter Mengen) Seien (X, ∥ · ∥), (Y, ∥ · ∥) normierte Räume, K ⊂ X kompakt und f : K → Y stetig. Folgern Sie, dass dann auch f(K) ⊂ Y kompakt ist.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 23.4.2002 bis 9:15.