Übungsaufgaben zur Analysis II SS 02, Serie 10 Prof. Dr. E. Kuwert 27. Juni 2002

Aufgabe 1 (Eine Flächenformel) Berechnen Sie das Kurvenintegral ∫_{c} F · ds für das Vektorfeld

F : ℝ^{2} → ℝ^{2}, F (x, y) = \frac{1}{2} (−y, x),

wobei der Weg c jeweils eine geeignete Parametrisierung des Randes der folgenden Gebiete in ℝ^{2} ist:

(a) Dreieck mit den Ecken (0, 0), (x_{1}, y_{1}) und (x_{2}, y_{2}).

(b) Ellipse mit den Halbachsen a, b > 0.

(c) G = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : a < x < b, 0 < y < f(x)}, wobei f ∈ C^{1}([a, b]) mit f ≥ 0.

Aufgabe 2 (Zentralkraftfelder) Sei f : (0, ∞) → ℝ stetig. Bestimmen Sie für das rotationssymmetrische Vektorfeld

F : ℝ^{n}\{0} → ℝ^{n}, F (x) = f(r)x mit r(x) = |x|

eine Stammfunktion.

Aufgabe 3 (Kettenlinie) Berechnen Sie die Bogenlänge des Graphen der Funktion

f : [−b, b] → ℝ, f(x) = a cosh \frac{x}{a}, wobei a > 0.

Aufgabe 4 (Polarwinkel auf ℝ^{2}) Geben Sie auf ℝ^{2}\ℝ_{0}^{+} eine Stammfunktion φ des Winkelfeldes W an, wobei

W (x, y) = (−\frac{y}{x^{2} + y^{2}} , \frac{x}{x^{2} + y^{2}} ) für (x, y) ≠ (0, 0).

Die Gleichung grad φ = W ist dabei nachzuweisen.

Aufgabe 5 (Konstruktion einer Stammfunktion) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und sternförmig bzgl. 0 ∈ Ω, und sei F ∈ C^{1}(Ω, ℝ^{n}) mit ∂_{i}F_{j} = ∂_{j}F_{i} auf Ω für alle 1 ≤ i, j ≤ n. Für x ∈ Ω setzen wir

c_{x} : [0, 1] → Ω, c_{x}(t) = tx.

Zeigen Sie explizit (ohne Satz 3.2 der Vorlesung zu verwenden), dass wie folgt eine Stammfunktion φ ∈ C^{1}(Ω) von F gegeben ist:

φ(x) = ∫_{c_{x}} F · ds = ∫_{0}^{1}⟨F (tx), x⟩ dt.

Es sind vier Aufgaben zu bearbeiten. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 2.7.2002 bis 9:15.