Übungsaufgaben zur Analysis II SS 02, Serie 11 Prof. Dr. E. Kuwert 4. Juli 2002

Aufgabe 1 (Konjugiert harmonische Funktionen) Sei Ω ⊂ ℝ^{2} ein sternförmiges Gebiet und u ∈ C^{2}(Ω) harmonisch, das heißt

Δu = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0 auf Ω.

Zeigen Sie, dass es eine harmonische Funktion v ∈ C^{2}(Ω) gibt mit grad v = J grad u, wobei J : ℝ^{2} → ℝ^{2} die Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn um π/2 bezeichnet.

Aufgabe 2 (Beispiel zum Umkehrsatz) Zeigen Sie, dass die Abbildung

f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, f(x, y) = (x + y + e^{x}, y^{3})

bijektiv ist. Ist f ein Diffeomorphismus?

Aufgabe 3 (Zahl der Urbilder) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt, f ∈ C^{1}(Ω, ℝ^{n}) und y ∈ ℝ^{n}. Es gelte

(1) f ist stetig auf \overline{Ω} fortsetzbar.

(2) Df(x) ist invertierbar für alle x ∈ Ω.

(2) y ∉ f(∂Ω).

Zeigen Sie, dass die Menge f^{−1}{y} der Urbilder von y endlich ist. Illustrieren Sie, dass keine der Voraussetzungen (1), (2) oder (3) weggelassen werden kann.

Aufgabe 4 (Inversion von Matrizen) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass, die Menge GL_{n}(ℝ) = {X ∈ ℝ^{n×n} : det(X) ≠ 0} offen ist. Berechnen Sie die Ableitung der Abbildung

ϕ : GL_{n}(ℝ) → GL_{n}(ℝ), ϕ(A) = A^{−1}

und schließen Sie, dass ϕ ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe 5 (Rotationsfreie Felder auf ℝ^{2}\{0}) Sei F ∈ C^{1}(ℝ^{2}\{0}, ℝ^{2}) ein Vektorfeld mit ∂_{1}F_{2} = ∂_{2}F_{1}. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(1) F hat eine Stammfunktion φ : ℝ^{2}\{0} → ℝ.

(2) Für c : [0, 2π] → ℝ^{2}\{0}, c(t) = (cos t, sin t) gilt ∫_{c} F · ds = 0.

Anleitung: ℝ^{2}\{0} ist Vereinigung der beiden sternförmigen Gebiete Ω^{±} = ℝ^{2}\ℝ_{0}^{±}, also gibt es dort Stammfunktionen φ^{±} : Ω^{±} → ℝ.

Es sind vier Aufgaben zu bearbeiten. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 9.7.2002 bis 9:15.