Übungsaufgaben zur Analysis II SS 02, Serie 2 Prof. Dr. E. Kuwert 25. April 2002

Aufgabe 1 (Gleichmäßige Konvergenz) Untersuchen Sie auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:

(a) f_{n} : [0, 1] → ℝ, f_{n}(x) = x(1 − x)^{n}.

(b) g_{n} : [0, 1] → ℝ, g_{n}(x) = nx(1 − x)^{n}.

Aufgabe 2 (Majorantenkriterium für Funktionenreihen) Gegeben sei eine Folge f_{k} ∈ C^{0}(D), k ∈ ℕ, stetiger Funktionen auf der kompakten Menge D ⊂ ℝ^{n}. Beweisen Sie: Ist ∑_{k=1}^{∞} ∥f_{k}∥_{D} < ∞, so konvergiert die Reihe ∑_{k=0}^{∞} f_{k} gleichmäßig gegen eine stetige Funktion auf D.

Aufgabe 3 (p-Normen auf C^{0}(I)) Seien p, q ∈ (1, ∞) mit 1/p + 1/q = 1. Beweisen Sie für f, g ∈ C^{0}(I), I = [0, 1] folgende Aussagen:

(a) |⟨f, g⟩| ≤ ∥f∥_{p} ∥g∥_{q} (Höldersche Ungleichung).

(b) ∥f + g∥_{p} ≤ ∥f∥_{p} + ∥g∥_{p} (Minkowski-Ungleichung).

(c) ∥f∥_{p} ≤ |I|^{1/p−1/q} ∥f∥_{q} für p < q.

Dabei ist |⟨f, g⟩| = ∫_{I} fg und ∥f∥_{p} = (∫_{I} |f|^{p})^{1/p}.

Aufgabe 4 (Kompaktheit der orthogonalen Matrizen) Beweisen Sie, dass die Gruppe der orthogonalen Matrizen

O_{n} = {T ∈ ℝ^{n×n} : ^{t}T T = E_{n}}

eine kompakte Teilmenge des Raums ℝ^{n×n} ist. Verwenden Sie zum Beispiel die Euklidische Norm |T | = (tr^{t}T T)^{1/2} = (∑_{i,j=1}^{n} T_{ij}^{2})^{1/2}.

Aufgabe 5 (Folgenraum l^{2}) Betrachten Sie die Menge der Folgen

l^{2} = {x = (x_{1}, x_{2}, …) : x_{k} ∈ ℂ, ∥x∥_{2} := (∑_{k=1}^{∞} |x_{k}|^{2})^{1/2} < ∞}.

Überlegen Sie, l^{2} ein normierter Vektorraum ist und zeigen Sie, dass die abgeschlossene Kugel {x ∈ l^{2} : ∥x∥_{2} ≤ 1} nicht kompakt ist. Argumentieren Sie dazu mit der Folge e_{1}, e_{2}, …, wobei e_{k} = (0, …, 0, 1, 0, …) ∈ l^{2} an der k-ten Stelle eine Eins hat und sonst nur Nullen. Beweisen Sie schließlich, dass l^{2} ein Banachraum, also vollständig ist (dies freiwillig).

Es sind vier der fünf Aufgaben zu bearbeiten. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 30.4.2002 bis 9:15.