Übungsaufgaben zur Analysis II SS 02, Serie 6 Prof. Dr. E. Kuwert 5. Juni 2002

Aufgabe 1 (Eulersche Identität) Sei α ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass für f ∈ C^{1}(ℝ^{n}\{0}) folgende Aussagen äquivalent sind:

(1) f(tx) = t^{α}f(x) für alle x ∈ ℝ^{n}\{0}, t > 0 (i.e. f ist homogen vom Grad α).

(2) Df(x)x = αf(x) für alle x ∈ ℝ^{n}\{0}.

Hinweis. Betrachten Sie für (2) ⇒ (1) die Funktion g(t) = t^{−α}f(tx).

Aufgabe 2 (Produktregel) Die Funktionen f, g : Ω → ℝ seien im Punkt x_{0} ∈ Ω ⊂ ℝ^{n} differenzierbar. Beweisen Sie die Produktregel: fg : Ω → ℝ ist ebenfalls in x_{0} differenzierbar und es gilt

D(fg)(x_{0}) = Df(x_{0}) g(x_{0}) + f(x_{0}) Dg(x_{0}).

Aufgabe 3 (Polarkoordinaten in ℝ^{3}) Bestimmen Sie für die Abbildung

f : (0, ∞) × (0, π) × (0, 2π) → ℝ^{3}, f(r, ϑ, φ) = r(sin ϑ cos φ, sin ϑ sin φ, cos ϑ)

die Jacobimatrix. Skizzieren Sie die durch einen Punkt (x, y, z) ∈ ℝ^{3} verlaufenden Koordinatenlinien r ↦ f(r, ϑ, φ), ϑ ↦ f(r, ϑ, φ) und φ ↦ f(r, ϑ, φ), und zeichnen Sie die Ableitungen \frac{∂f}{∂r}, \frac{∂f}{∂ϑ} und \frac{∂f}{∂φ} ein. Berechnen Sie schließlich die Skalarprodukte g_{ij} = ⟨∂_{i}f, ∂_{j}f⟩, 1 ≤ i, j ≤ 3, dieser Ableitungen.

Aufgabe 4 (Ableitung von det) Begründen Sie, dass die Abbildung det

det : ℝ^{n×n} → ℝ, A = (a_{ij}) ↦ ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)}

differenzierbar ist, und bestätigen Sie für die Ableitung an der Stelle E_{n} (Einheitsmatrix) folgende Formel:

Ddet(E_{n})(H) = tr (H) für alle H ∈ ℝ^{n×n}.

Ddet ist die Abbleitung von det und damit ist Ddet(p)(h) wohldefiniert für p, h ∈ ℝ^{n×n}. tr(H) ist die Spur der Matrix H. Es sind vier Aufgaben zu bearbeiten. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 4.6.2002 bis 9:15.