Übungsaufgaben zur Analysis II SS 02, Serie 7 Prof. Dr. E. Kuwert 5. Juni 2002

Aufgabe 1 (Tangentialraum von Graphen) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen. Die Graphenabbildung einer Funktion f ∈ C^{1}(Ω) ist gegeben durch

F : Ω → ℝ^{n}× ℝ = ℝ^{n+1}, F (x) = (x, f(x)).

(1) Berechnen Sie die Jacobimatrix von F im Punkt x_{0} ∈ Ω.

(2) Zeigen Sie, dass der Unterraum T := Bild DF (x_{0}) die Dimension n hat.

(3) Bestimmen Sie die Einheitsnormale ν an T, das heißt ⟨ν, DF (x_{0}) e_{j}⟩ = 0 für j = 1, …, n und |ν| = 1.

(4) Rechnen Sie explizit und zeichnen Sie für Ω = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} < 1}, f(x, y) = (1 − x^{2} − y^{2})^{1/2} und (x_{0}, y_{0}) = (1/2, 1/2).

Hinweis: Der Unterraum Bild DF (x_{0}) wird als Tangentialraum von Graph(f) im Punkt (x_{0}, f(x_{0})) bezeichnet, der affine Unterraum F (x_{0}) + Bild DF (x_{0}) als affiner Tangentialraum.

Aufgabe 2 (Ableitung der p-Normen) Untersuchen Sie auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie den Gradienten:

f : ℝ^{n} → ℝ, f(x) = ∥x∥_{p} = (∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{1/p} mit p ∈ [1, ∞).

Aufgabe 3 (Ableitung von det, Fortsetzung) Zeigen Sie, dass die Ableitung der Funktion det : ℝ^{n×n} → ℝ an einer beliebigen Stelle A ∈ GL_{n}(ℝ), i.e. det(A) ≠ 0, wie folgt gegeben ist:

D det(A)H = det(A) tr(A^{−1}H).

Hinweis: Aus dem Determinanten-Multiplikationssatz folgt det(A + tH) = det(A) det(A^{−1}(A + tH)). Verwenden Sie nun die Kettenregel und das Ergebnis von Serie 6, Aufgabe 4.

Aufgabe 4 (Schwerpunkt) Seien a_{1}, …, a_{k} ∈ ℝ^{n} und m_{1}, …, m_{k} > 0. Berechnen Sie den Gradienten der Funktion

f(x) = ∑_{i=1}^{k} m_{i} |x − a_{i}|^{2} (x ∈ ℝ^{n}).

Zeigen Sie, dass es genau ein x_{0} ∈ ℝ^{n} gibt mit f(x_{0}) = inf_{x∈ℝ^{2}} f(x). Hinweis: Diese Aufgabe ist ganz ähnlich zu Aufgabe 2 in Serie 5, aber einfacher.

Aufgabe 5 (Integration von Matrix-Funktionen) Sei I = [a, b]. Das Integral einer stetigen Funktion f : I → ℝ^{N} ist komponentenweise definiert, das heißt es gilt ∫_{a}^{b} f = ∑_{i=1}^{N} (∫_{a}^{b} f_{i}) e_{i}. Bestätigen Sie für eine stetige Funktion A : I → ℝ^{m×n} die Formel

∫_{a}^{b} A(t)v dt = (∫_{a}^{b} A(t) dt) v für alle v ∈ ℝ^{n}.

Es sind vier Aufgaben zu bearbeiten. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 11.6.2002 bis 9:15.