Übungsaufgaben zur Analysis II SS 02, Serie 8 Prof. Dr. E. Kuwert 11. Juni 2002

Aufgabe 1 (Analytische Funktionen) Sei x_{0} ∈ ℝ beliebig. Zeigen Sie, dass die Funktionen exp, sin und cos auf ganz ℝ durch ihre Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x_{0} dargestellt werden, insbesondere also analytisch sind. Hinweis: Verwenden Sie die Funktionalgleichung bzw. die Additionstheoreme.

Aufgabe 2 (Binomialreihe) Rechnen Sie nach, dass die Taylorreihe der Funktion

f : (−1, 1) → ℝ, f(x) = (1 + x)^{α} mit α ∈ ℝ

die Binomialreihe B_{α}(x) := ∑_{k=0}^{∞} \binom{α}{k} x^{k} ist. Zeigen Sie für x ∈ [0, 1) mittels geeigneter Abschätzung des Restglieds, dass die Reihe in der Tat gegen f(x) konvergiert. Hinweis: Das ist auch für x ∈ (−1, 0) richtig, aber schwerer zu beweisen, besonders für x ∈ (−1, −1/2].

Aufgabe 3 (Eine zweidimensionale Taylorentwicklung) Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung der Funktion

f : (0, ∞) × ℝ → ℝ, f(x, y) = x^{y}

an der Stelle (x_{0}, y_{0}) = (1, 1). Bestimmen Sie damit eine Näherung für die Zahl 1, 01^{0,99} und schätzen Sie den Fehler ab.

Aufgabe 4 (Lokale Approximation durch das Taylorpolynom) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und konvex, f ∈ C^{k}(Ω) und x_{0} ∈ Ω. Zeigen Sie:

f(x) = P_{x_{0}}^{k}f(x) + R_{x_{0}}^{k}f(x) mit lim_{x→x_{0}} \frac{R_{x_{0}}^{k}f(x)}{|x − x_{0}|^{k}} = 0,

wobei P_{x_{0}}^{k}f(x) = ∑_{j=0}^{k} \frac{1}{j!} D^{j}f(x_{0})(h, …, h) das k-te Taylorpolynom von f in x_{0} ist.

Hinweis: Verwenden Sie die mehrdimensionale Taylorentwicklung der Ordnung k−1.

Es sind vier Aufgaben zu bearbeiten. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 18.6.2002 bis 9:15.