Übungsaufgaben zur Analysis II SS 02, Serie 9 Prof. Dr. E. Kuwert 27. Juni 2002

Aufgabe 1 (Kritische Punkte) Bestimmen Sie die kritischen Punkte der folgenden Funktionen f. Entscheiden Sie, ob es sich um lokale Maxima/Minima handelt und zeichnen Sie jeweils die Höhenlinien {(x, y) ∈ ℝ^{2} : f(x, y) = c}.

(a) f(x, y) = (x + 1)(y − 2).

(b) f(x, y) = x − x^{2} − y^{2}.

(c) f(x, y) = xy(x − 1).

(d) f(x, y) = sin(xy).

Aufgabe 2 (Nichtdegenerierte kritische Punkte) Sei Ω ⊂ ℝ^{n}. Ein kritischer Punkt x_{0} ∈ Ω der Funktion f ∈ C^{2}(Ω) heißt nichtdegeneriert, wenn die Hessematrix

D^{2}f(x_{0}) = (∂_{i}∂_{j}f(x_{0}))_{1≤i,j≤n}

invertierbar ist. Zeigen Sie, dass ein solcher Punkt isoliert ist: es gibt eine offene Umgebung U_{ε}(x_{0}), in der keine weiteren kritischen Punkte von f liegen.

Aufgabe 3 (Steinerpunkt) Seien a, b, c die Ecken eines Dreiecks in ℝ^{2}. Betrachten Sie die Abstandssumme

f : ℝ^{2} → ℝ, f(x) = |x − a| + |x − b| + |x − c|.

Zeigen Sie: ist x_{0} ∈ ℝ^{2}\{a, b, c} ein Punkt mit f(x_{0}) = inf_{x∈ℝ^{2}} f(x), so bilden die Strecken x_{0}a, x_{0}b, x_{0}c miteinander Winkel von jeweils 2π/3.

Aufgabe 4 (Zum Zusammenhang) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und wegzusammenhängend. Zeigen Sie, dass je zwei Punkte x_{0}, x_{1} ∈ Ω durch einen Polygonzug miteinander verbunden werden können, das heißt es gibt eine stetige und stückweise lineare Funktion γ : [0, 1] → Ω mit γ(0) = x_{0}, γ(1) = x_{1}.

Aufgabe 5 (Schiefer Wurf) Es beschreibe c ∈ C^{2}([0, T], ℝ^{2}), c(t) = (c_{1}(t), c_{2}(t)), die Bewegung eines Teilchens der Masse m > 0 unter dem Einfluss der Schwerkraft (0, −g). Die zugehörige Lagrangefunktion lautet

L(t, x_{1}, x_{2}, v_{1}, v_{2}) = \frac{m}{2} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2}) + mgx_{2}.

Stellen Sie die Euler-Lagrange-Gleichung auf und berechnen Sie die Bewegung mit den Anfangsdaten

c(0) = (0, 0), c′(0) = v_{0} (cos α, sin α), wobei v_{0} > 0 und α ∈ (0, π/2].

Es sind vier Aufgaben zu bearbeiten. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 25.6.2002 bis 9:15.