MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 20.4.1998 Dr. R. Schätzle

Minimalflächen SS 1998 1.Übung

\underline{AUFGABE 1:} Es sei f : IR^{2} → IR^{3}, f(z) := \frac{2z}{1+|z|^{2}} + \frac{1−|z|^{2}}{1+|z|^{2}} e_{3} . Zeigen Sie, daß f eine konforme Parametrisierung von S^{2} − {−e_{3}} ist und verifizieren Sie die Differentialgleichung

−Δf = 2\frac{∂f}{∂x} ∧ \frac{∂f}{∂y} .

\underline{AUFGABE 2:} Es sei f : Ω → IR^{3} eine Immersion mit induzierter Metrik g . Der Gradient grad_{g}u einer Funktion u ∈ C^{1}(Ω) ist durch g(X, grad_{g}u) = du · X erklärt. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) grad_{g}u = ∑_{i,j=1}^{2} g^{ij}∂_{j}u e_{i} .

(ii) Es sei V eine offene Umgebung von f(Ω) und v ∈ C^{1}(V) . Dann gilt für jedes Vektorfeld X auf Ω

⟨df · grad_{g}(v ∘ f), df · X⟩ = ⟨(grad v) ∘ f, df · X⟩,

und grad_{g}(v ∘ f) ist hierdurch eindeutig bestimmt.

(iii) Mit dA_{g} = \sqrt{det g} dxdy und div_{g}X = \frac{1}{\sqrt{det g}} ∑_{i=1}^{2} ∂_{i}(\sqrt{det g}X^{i}) gilt für η ∈

C_{c}^{1}(Ω), X ∈ C^{1}(Ω, IR^{2})

∫_{Ω} η div_{g}XdA_{g} = − ∫_{Ω} g(grad_{g}η, X) dA_{g}.

(Hinweis: Verwenden Sie, daß ∫_{Ω} div Y = 0 für Y ∈ C_{c}^{1}(Ω, IR^{2}) .

(iv) Δ_{g} = div_{g} grad_{g} .

\underline{AUFGABE 3:} Es sei H_{f} der mittlere Krümmungsvektor einer Immersion f ∈ C^{2}(Ω, IR^{3}) und Φ ∈ C^{2}(Ω^{⋆}, Ω) ein Diffeomorphismus. Zeigen Sie, daß H_{f∘Φ} = (H_{f}) ∘ Φ . \underline{AUFGABE 4:} Eine Rotationsfläche entsteht durch die Drehung einer Kurve c : I → {(x, 0, z) | x > 0 }, I kompakt, um die z-Achse. Bestimmen Sie eine konforme Parametrisierung einer solchen Fläche. \underline{AUFGABE 5:} Für ein Skalarprodukt g auf IR^{2} ist der Winkel zwischen Vektoren v, w ≠ 0 durch

≮_{g} (v, w) = arccos(\frac{g(v, w)}{∥ v ∥_{g} ∥ w ∥_{g}})

erklärt. Für zwei Skalarprodukte g_{1}, g_{2} auf IR^{2} sind dann äquivalent:

(i) ∃λ > 0 : g_{2} = λ^{2}g_{1} .

(ii) ≮_{g_{1}} (v, w) =≮_{g_{2}} (v, w) für alle v, w .

Bearbeiten Sie vier der fünf Aufgaben. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 27.4.1998, von 11^{00} Uhr bis 11^{10} Uhr.