MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 2.7.1998 Dr. R. Schätzle

Minimalflächen SS 1998 10.Übung

\underline{AUFGABE 37:} Berechnen Sie die Metrik, die Weingartenabbildung, die zweite Fundamentalform, die Hauptkrümmungen und die Gaußkrümmung für das Helikoid

f(t, φ) := (sinh(t) cos(φ), sinh(t) sin(φ), φ)^{T} .

\underline{AUFGABE 38:} Es sei Σ ⊆ IR^{3} die C^{2}−Oberfläche eines strikt konvexen Körpers, und Σ habe strikt positive Gaußkrümmung. Zeigen Sie

∫_{Σ} KdA = 4π.

\underline{AUFGABE 39:} Zeigen Sie, daß jede C^{2}-Fläche Σ ⊆ IR^{3} nach Rotation lokal als Graph (x, y) ↦ (x, y, u(x, y)) mit u(x, y) = \frac{1}{2}(λx^{2} + μy^{2}) + o(|x|^{2} + |y|^{2}) geschrieben werden kann. Berechnen Sie die zweite Fundamentalform und die Weingartenabblidung im Nullpunkt und skizzieren Sie die Fläche in einer Umgebung von 0. Unterscheiden Sie dabei die Fälle λμ > 0 (elliptisch), λμ < 0 (hyperbolisch) und λμ = 0 (parabolisch). \underline{AUFGABE 40:} Betrachten Sie eine Rotationsfläche mit der Parametrisierung

(s, φ) ↦ (α(s) cos(φ), α(s) sin(φ), β(s))

mit α^{′2} + β^{′2} = 1 . Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Es gilt

α′′ + Kα = 0,

wobei K die Gaußkrümmung ist. Berechnen Sie daraus und mit β = ∫ \sqrt{1 − α^{′2}} alle Parametrisierungen mit konstanter Gaußkrümmung.

(b) Alle Rotationsflächen mit Gaußkrümmung K ≡ 1 , die die xy−Ebene senkrecht schneiden, sind gegeben durch

α(s) = C cos(s), β(s) = ∫_{0}^{s} \sqrt{1 − C^{2} sin(t)^{2}}dt.

Skizzieren Sie das Profil der Flächen in der xz−Ebene in den Fällen 0 < C < 1, C = 1 und C > 1 .

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Donnerstag, 9.7.1998, von 11^{00} Uhr bis 11^{10} Uhr.