MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 9.7.1998 Dr. R. Schätzle

Minimalflächen SS 1998 11.Übung

\underline{AUFGABE 41:} Es sei T : IR^{2} → IR^{3}, T (z) := \frac{2z}{1+|z|^{2}} + \frac{|z|^{2}−1}{1+|z|^{2}}e_{3} , die Umkehrung der stereographischen Projektion. Zeigen Sie, daß S eine konforme Parametrisierung von S^{2} − {e_{3}} ist, die orietierungsumkehrend ist, wenn als orientierte Normale an S^{2} die äußere Einheitsnormale gewählt wird. Die Volumen oder Oberflächenform ω auf S^{2} mit dieser Orientierung ist gegeben durch

ω(ξ)(X, Y) := det (ξ, X, Y) wobei ξ ∈ S^{2}, X, Y ⊥ξ.

Berechnen Sie die durch T zurückgezogene Metrik und verifizieren Sie

T^{∗} ω = − (\frac{2}{1 + |z|^{2}} )^{2} dx dy.

\underline{AUFGABE 42:} Das Katenoid wird konform parametrisiert durch

f(t, φ) := (cosh(t) cos(φ), cosh(t) sin(φ), φ)^{T} .

Berechnen Sie die zugehörige Nullkurve Φ und bestimmen Sie die adjungierte Minimalfläche Im(Φ) . \underline{AUFGABE 43:} Eine zusammenhängende Minimalfläche im IR^{3} deren Gaußkrümmung identisch verschwindet, ist ein Stück einer Ebene. (Hinweis: Verwenden Sie die Weierstraßdarstellung und Satz 4(4) der Vorlesung.) \underline{AUFGABE 44:} (Enneper-Fäche) Bestimmen Sie die Minimalfläche mit Weierstraßdaten g(z) := z, η(z) := zdz und skizzieren Sie diese.

Keine Abgabe.