MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 30.4.1998 Dr. R. Schätzle

Minimalflächen SS 1998 2.Übung

\underline{AUFGABE 6:} (Liouville) Es sei u : IR^{2} → IR eine harmonische Funktion. Zeigen Sie, daß u ein Polynom vom Grade höchstens n ist, falls \frac{|u(z)|}{|z|^{n+1}} → 0 für |z| → ∞ . (Hinweis: Zeigen Sie, daß D^{α}u ≡ 0 für |α| = n + 1 .) \underline{AUFGABE 7:} (Harnack Ungleichung) Es sei u ≥ 0 harmonisch auf B_{3R}(0) ⊂ IR^{2} . Zeigen Sie

sup_{B_{R}(0)} u ≤ 9 inf_{B_{R}(0)} u.

Zeigen Sie für beliebige offene Mengen Ω′ ⊂⊂ Ω ⊂ IR^{2} und u ≥ 0 harmonisch auf Ω die Abschätzung

sup_{Ω′} u ≤ C(Ω, Ω′) inf_{Ω′} u.

(Hinweis: Verwenden Sie die Mittelwertformel für u .) \underline{AUFGABE 8:} Wir betrachten die Riemannsche Zahlenkugel \overline{CI} := CI ∪\{∞\} und Abbildungen S : \overline{CI} → \overline{CI} der Form

S(z) := \frac{az + b}{cz + d},

wobei a, b, c, d ∈ CI, ad − bc ≠ 0 . Wir setzen weiter

S(∞) = \frac{a}{c} und S(−\frac{d}{c}) = ∞.

S heißt Möbiustransformation. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(a) Möbiustransformationen sind bijektiv und konform.

(b) Die Verkettung zweier Möbiustransformationen ist wieder eine Möbiustransformation, und diese bilden eine Gruppe.

(c) Für z_{2}, z_{3}, z_{4} paarweise verschieden sei

(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) := \frac{z_{1} − z_{3}}{z_{1} − z_{4}} \frac{z_{2} − z_{4}}{z_{2} − z_{3}}

und (z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) := \frac{z_{1}−z_{3}}{z_{1}−z_{4}} , \frac{z_{2}−z_{4}}{z_{1}−z_{4}} , \frac{z_{1}−z_{3}}{z_{2}−z_{3}} , falls z_{2}, z_{3} oder z_{4} = ∞ . Dann ist S(z) := (z, z_{2}, z_{3}, z_{4}) eine Möbiustransformation, die z_{2}, z_{3}, z_{4} auf 0, 1, ∞ abbildet, und dies ist die einzige Möbiustransformation mit dieser Eigenschaft.

\underline{AUFGABE 9:} Zeigen Sie, daß parallel Verschiebungen P_{a}(z) := z + a, a ∈ CI , Homothetien H_{k}(z) := kz, k ∈ CI − \{0\} und Inversionen an Sphären I_{a,r}(z) := a + \frac{r^{2}}{z−a}, a ∈ CI, r > 0, Möbiustransformationen sind, und diese die Gruppe der Möbiustransformationen erzeugen. Bestimmen Sie eine Möbiustransformation, die die Einheitskreisscheibe auf sich selbst abbildet und die 0 auf einen gegebenen Punkt z_{0} ∈ B_{1}(0) überführt, durch Verkettung der Inversion an der Einheitssphäre und der Inversion einer Sphäre, deren Zentrum auf der Gerade durch 0 und z_{0} ≠ 0 liegt.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Donnerstag, 7.5.1998, von 11^{00} Uhr bis 11^{10} Uhr.