MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 7.5.1998 Dr. R. Schätzle

Minimalflächen SS 1998 3.Übung

\underline{AUFGABE 10:} Es sei Ω ⊂⊂ IR^{2} offen und f : \overline{Ω} → IR^{m} stetig und harmonisch in Ω . Zeigen Sie, daß das Bild von f in der konvexen Hülle des Bildes vom Rand von Ω enthalten ist, d.h.

f(Ω) ⊆ conv(f(∂Ω)).

\underline{AUFGABE 11:} Es sei Ω ⊂⊂ IR^{2} offen und zusammenhängend, u : Ω → IR harmonisch, 0 < r ≤ ϱ ≤ R, Rr = ϱ^{2} und B_{R}(x_{0}) ⊂⊂ Ω . Zeigen Sie

∫_{∂B_{1}(0)} u(x_{0} + rω)u(x_{0} + Rω) dH^{1}(ω) = ∫_{∂B_{1}(0)} u(x_{0} + ϱω)^{2} dH^{1}(ω),

und schließen Sie daraus, daß harmonische Funktionen identisch verschwinden, falls diese in der Umgebung eines Punktes verschwinden. (Hinweis: Entwickeln Sie u als Potenzreihe in homogene, harmonische Polynome.) \underline{AUFGABE 12:} Es sei f : B_{1} → B_{1} holomorph und bijektiv. Zeigen Sie, daß f eine Möbiustransformation ist, siehe Aufgabe 8. (Hinweis: Zeigen Sie für f mit f(0) = 0 , daß \frac{f(z)}{z} und \frac{z}{f(z)} holomorph sind und wenden Sie das Maximumprinzip an.) \underline{AUFGABE 13:}

Jeder invertierbaren Matrix A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(CI) wird eine Möbiustransformation

T_{A}(z) := \frac{az+b}{cz+d} zugeordnet, siehe Aufgabe 8. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Möbiustransformationen bilden Kreise und Geraden auf Kreise und Geraden ab. (Kreise und Geraden sind Lösungen von αzz̄ + \frac{1}{2}(γz̄ + γ̄z) + β = 0 mit α, β ∈ IR, γ ∈ CI .)

(ii) Für das Doppelverhältnis, siehe Aufagbe 8, von paarweise verschiedenen Punkten gilt

(z, z_{1}, z_{2}, z_{3}) ∈ IR ⇔ z, z_{1}, z_{2}, z_{4} liegen auf einem Kreis oder Gerade.

(iii) Es sei T_{A} ≠ id . Dann hat T_{A} genau zwei Fixpuntke, falls A diagonalisierbar ist, und T_{A} hat genau einen Fixpunkt, falls A nicht diagonalisierbar ist. Im ersten Fall heißt T_{A} hyperbolisch, im zweiten parabolisch. Betrachten Sie die Jordan-Normalform J von A und beschreiben Sie T_{J} in beiden Fällen.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Donnerstag, 14.5.1998, von 11^{00} Uhr bis 11^{10} Uhr.