MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 14.5.1998 Dr. R. Schätzle

Minimalflächen SS 1998 4. Übung

\underline{AUFGABE 14:} Betrachten Sie die Menge M = \{θ ∈ C^{0}(IR) : θ ist monoton wachsend, \frac{1}{2π} (θ(ϑ + 2π) − θ(ϑ)) = 1 für alle ϑ ∈ IR\}.

Zeigen Sie:

a) M ist konvexe Teilmenge von C^{0}(IR).

b) {θ ∈ M : θ ist streng monoton und glatt} ist dicht in M bzgl. der Supremumsnorm.

Bemerkung: Die Menge der monotonen Parametriesierungen von Γ ist also der Abschluß der Homeomorphismen bezüglich der C^{0}-Norm.

\underline{AUFGABE 15:} Sei γ_{0} : S^{1} → Γ homeomorph. In der Vorlesung hatten wir zu φ ∈ C^{0}(S^{1}, Γ) einen Lift θ ∈ C^{0}(IR) mit φ(e^{iϑ}) = γ_{0}(e^{iθ(ϑ)}) konstruiert und die Umlaufzahl durch

d(φ) = \frac{1}{2π} (θ(2π) − θ(0)) ∈ ZZ

erklärt. Zeigen Sie, daß sich d(φ) bei Verwendung eines anderen Homeomorphismus γ_{1} : S^{1} → Γ nicht ändert, sofern γ_{0}, γ_{1} gleichsinnig orientiert sind.

\underline{AUFGABE 16:} Es sei u : B_{1}(0) → IR gegeben durch

u(z) := Im( (\frac{1 + z}{1 − z})^{2} ).

Man zeige:

(i) u ist harmonisch in B_{1}(0),

(ii) u ≢ 0 in B_{1}(0),

(iii) lim_{r→1} u(r e^{iφ}) = 0 ∀φ ∈ IR.

\underline{AUFGABE 17:} Ein Kreisbogenzweieck △ ist der Durchschnitt zweier offener Kreisscheiben. Geben Sie eine konforme Äquivalenz von △ mit B_{1}(0) an.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Freitag, 22.5.1998, bis 12:00 Uhr (bei T. Müller, Zi. 210, 2.OG)