MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 22.5.1998 Dr. R. Schätzle

Minimalflächen SS 1998 5.Übung

\underline{AUFGABE 18:} Es sei φ ∈ L^{p}(∂B_{1}), 1 ≤ p < ∞ und (ξφ) das Poisson-Integral auf B_{1} von φ . Zeigen Sie, daß für 0 < r < 1

∥ (ξφ)_{r} ∥_{L^{p}(∂B_{1})}≤∥ φ ∥_{L^{p}(∂B_{1})}

und

∥ (ξφ)_{r} − φ ∥_{L^{p}(∂B_{1})}→ 0

für r ↑ 1 . \underline{AUFGABE 19:} Es sei u : \overline{B_{1}} ∩ \{y ≥ 0\} ⊂ IR^{2} → IR stetig und harmonisch im Inneren mit u(x, 0) = 0 . Zeigen Sie mit der Poisson-Integral-Formel, daß die Fortsetzung

u(x, y) := −u(x, −y)

harmonisch in B_{1} ist. (Hinweis: Setzen Sie dazu die Randwerte durch Spiegelung fort und zeigen Sie, daß das Poisson-Integral mit diesen Randwerten auf \overline{B_{1}} ∩ \{y ≥ 0\} mit u übereinstimmt.) \underline{AUFGABE 20:} Es sei A_{r,R} := {z ∈ CI | r < |z| < R }, 0 < r < R < ∞ , ein Annulus. Wann sind zwei Annuli biholomorph äquivalent, d.h. wann existiert eine stetig invertierbare Abbildung

f : A_{r,R} → A_{s,S},

für die f und f^{−^{1}} holomorph im Inneren sind. (Hinweis: Setzen Sie f durch Spiegeln an den Kreislinien zu einer holomorphen Abbildung CI → CI fort.) \underline{AUFGABE 21:} Es sei φ ∈ C^{0}(∂B_{1}) lipschitzstetig mit Lipschitz-Konstante L , und h ∈ C^{∞}(B_{1}) ihre harmonische Fortsetzung. Zeigen Sie

E(h) ≤ CL^{2}.

(Hinweis: Zeigen Sie die Aussage zuerst für glatte φ , und verwenden Sie die Parseval-Identität für φ′ .)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Donnerstag, 28.5.1998, von 11^{00} Uhr bis 11^{10} Uhr.