MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 10.6.1998 Dr. R. Schätzle

Minimalflächen SS 1998 7.Übung

\underline{AUFGABE 25:} Es sei Ω ⊆ IR^{2} offen, beschränkt und ∂Ω ∈ C^{1} . Weiter sei ω := a dx+b dy eine 1-Form auf Ω , a, b ∈ C^{1}(\overline{Ω}) und X := ae_{1} + be_{2} . Zeigen Sie, daß dω = −div(JX)dx ∧ dy , wobei J die positive Drehung um 90 Grad ist. Zeigen Sie weiter mit dem Satz von Gauß

∫_{Ω} dω = ∫_{∂Ω} ω.

\underline{AUFGABE 26:} Γ sei eine Jordankurve im IR^{3} und f ∈ E(Γ) ≠ ∅ sei ein Minimum von E(.) unter der Nebenbedingung

∫_{B_{1}} f^{∗}ω = V ∈ IR.

Zeigen Sie, daß f konform parametrisiert ist. \underline{AUFGABE 27:} Es sei f ∈ C^{1}(B^{+} ∪ I, IR^{3}), B^{+} := B_{1} ∩ \{y > 0\}, I :=] − 1, 1[×\{0\} ⊆ \overline{B^{+}} , eine Minimalfläche, d.h.

Δf = 0, df^{∗}df = \frac{1}{2}|df|^{2} id.

Weiter sei P := {x ∈ IR^{3} | ⟨x − p_{0}, ν⟩ = 0 } eine Ebene mit Normale ν ∈ S^{2} . Es gelte

f(I) ⊆ P, ⟨∂_{x}f ∧ ∂_{y}f, ν⟩ = 0 auf I,

d.h. f trifft P orthogonal in I , falls df ≠ 0 . Erweitern Sie f durch

f(x, −y) := σ_{P} (f(x, y)) für y ≥ 0,

wobei σ_{p} die Spiegelung an P bezeichnet. Zeigen Sie, daß diese Fortsetzung wieder eine Minimalfläche ist. \underline{AUFGABE 28:} Es sei h : B_{1} → IR harmonisch und h^{∗} ihre konjugiert Harmonische. h sei regulär auf seiner 0-Niveaumenge, d.h.

grad h(x) ≠ 0 für h(x) = 0.

Zeigen Sie folgende Aussagen für 0 < r < 1 .

(a) Die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

γ̇ = grad h^{∗}(γ), γ(t) ∈ B_{r}

mit Anfangsdaten auf der 0-Niveaumenge von h , also h(γ(0)) = 0 , verläuft auf der 0-Niveaumenge von h . Weiter hat γ ein endliches maximales Lösungsinterval und trifft ∂B_{r} in zwei verschiedenen Punkten an den Endpunkten des Lösungsintervals.

(b) Die Komponenten von [h = 0]∩B_{r} in B_{r} sind reguläre Kurven, die zwei verschiedene Punkte von ∂B_{r} in B_{r} verbinden.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Donnerstag, 18.6.1998, von 11^{00} Uhr bis 11^{10} Uhr.