MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 18.6.1998 Dr. R. Schätzle

Minimalflächen SS 1998 8.Übung

\underline{AUFGABE 29:} Es sei Ω ⊆ IR^{2} offen und u ∈ C^{2}(Ω) . Die Parametrisierung f(z) := (z, u(z)) wird als nicht parametrische Darstellung des Graphen von u bezeichnet. Berechnen Sie den mittleren Krümmungsvektor H = Δ_{g}f . (Hinweis: Es ergibt sich

H^{1} = \frac{1}{W} div (\frac{1 + u_{y}^{2}}{W} , −\frac{u_{x}u_{y}}{W} ) , H^{2} = \frac{1}{W} div (−\frac{u_{x}u_{y}}{W} , \frac{1 + u_{x}^{2}}{W} ) , H^{3} = \frac{1}{W} div (\frac{u_{x}}{W} , \frac{u_{y}}{W} ) ,

wobei W := \sqrt{1 + |du|^{2}} .) \underline{AUFGABE 30:} Der Graph einer Funktion u ∈ C^{2}(Ω), Ω ⊆ IR^{2} offen, ist eine Minimalfläche genau dann, wenn die Gleichung

div (\frac{grad u}{\sqrt{1 + |grad u|^{2}}} ) = 0

erfüllt ist. Bestimmen Sie eine Lösung von der Form u(x, y) = v(x) + w(y) . Zeichnen und beschreiben Sie diese Lösung. (Hinweis: Wählen Sie als Anfangswerte v(0) = w(0) = v′(0) = w′(0) = 0, v′′(0) = −w′′(0) = 1 .) \underline{AUFGABE 31:} Der Graph von u ∈ C^{2}(Ω), Ω ⊆ IR^{2} offen und konvex, sei eine Minimalfläche. Folgern Sie aus dem Ergebnis von Aufgabe 29 die Existenz von Funktionen a, b ∈ C^{2}(Ω) mit

da = \frac{(1 + u_{x}^{2})dx + u_{x}u_{y}dy}{\sqrt{1 + |grad u|^{2}}} , db = \frac{u_{x}u_{y}dx + (1 + u_{y}^{2})dy}{\sqrt{1 + |grad u|^{2}}} .

Betrachten Sie φ : Ω → IR^{2} mit

φ(x, y) := (x + a(x, y), y + b(x, y)).

Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) φ ist ein Diffeomorphismus auf die offene Menge U := φ(Ω) , und |φ(z_{2}) − φ(z_{1})| > |z_{2} − z_{1}| für z_{1} ≠ z_{2} ∈ Ω .

(ii) Die Parametrisierung f : U → IR^{3} mit f(w) := (φ^{−1}(w), u(φ^{−1}(w))) ist konform.

(Hinweis: Es kann hilfreich sein die Basisvektoren e_{1}, e_{2} von IR^{2} so zu wählen, daß grad u(z_{0}) = |grad u(z_{0})|e_{1} für einen vorgegebenen Punkt z_{0} ∈ Ω .)

\underline{AUFGABE 32:} Der Graph von u ∈ C^{2}(\overline{Ω}), Ω ⊆ IR^{2} offen, sei eine Minimalfläche. Das Vektorfeld

ν(x, y, z) = \frac{(−grad u(x, y), 1)}{\sqrt{1 + |grad u(x, y)|^{2}}}

sei auf \overline{Ω} × IR definiert. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) ω := ν⌊(dx ∧ dy ∧ dz) ist geschlossen.

(ii) Für eine orientierte, kompakte Fäche Σ ⊆ \overline{Ω} × IR gilt

∫_{Σ} ω = ∫_{Σ}⟨ν, ν_{Σ}⟩dH^{2}

wobei ν_{Σ} die Normale an Σ ist.

(iii) Der Graph minimiert den Flächeninhalt unter allen orientierten, kompakten Flächen Σ ⊆ \overline{Ω} × IR mit ∂Σ = graph(u|_{∂Ω}) , d.h.

A(graph(u)) ≤ A(Σ).

(Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis die Tatsache, daß ω als geschlossene 2-Form auf einem Zylindergebiet \overline{Ω} × IR exakt ist und wenden Sie den Satz von Stokes an.)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Donnerstag, 25.6.1998, von 11^{00} Uhr bis 11^{10} Uhr.