MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 25.6.1998 Dr. R. Schätzle

Minimalflächen SS 1998 9.Übung

\underline{AUFGABE 33:} Es sei Ω ⊆ IR^{2} offen und f ∈ C^{1}(Ω, IR^{2}) mit df(z_{0}) nichtsingulär. Zeigen Sie, daß der Index von f in z_{0} wohldefiniert ist, und daß

ind(f, z_{0}) = sign det df(z_{0}).

\underline{AUFGABE 34:} Es sei C ⊂⊂ IR^{2} eine offene, nichtleere, beschränkte, konvexe Menge. Zeigen Sie, daß für w_{0} ∈ C die Zuordnung w ↦ \frac{w−w_{0}}{|w−w_{0}|}, w ∈ ∂C , einen Homeomorphismus zwischen ∂C und S^{1} erzeugt. Insbesondere ist ∂C eine Jordankurve. \underline{AUFGABE 35:} Es sei u ∈ C^{2}(B_{1}(0) − {0}, IR) ∩ C^{0}(B_{1}(0), IR) , deren Graph außerhalb des Nullpunktes eine Minimlafläche ist, d.h.

div (\frac{grad u}{\sqrt{1 + |grad u|^{2}}} ) = 0 in B_{1}(0) − \{0\}.

Zeigen Sie, daß u regulär ist. (Hinweis: Betrachten Sie mit dem Satz von Rado eine Graphenlösung v des Plateauproblems mit Randwerten u , und multipizieren Sie die Minimalflächengleichung der beiden Graphen mit (v − u)η und integrieren Sie, wobei η ≡ 0 in einer Umgebung von 0.) \underline{AUFGABE 36:} Es sei Γ eine Jordankurve, die eine Lösung des Plateauproblems mit einem Verzweigungspunkt im Inneren besitzt. Zeigen Sie, daß jede Hyperebene durch diesen Verzweigungspunkt die Jordankurve in mindestens vier Punkten schneidet. (Hinweis: Betrachten Sie die Höhenfunktion der Plateaulösung über einer Hyperebene).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Donnerstag, 2.7.1998, von 11^{00} Uhr bis 11^{10} Uhr.