MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 19.4.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen II SS 1999 1.Übung

\underline{AUFGABE 1:} (Hölderräume) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} ein nichtleere, offene, zusammenhängende Menge mit Lipschitzrand. Weiter seien l ≤ k ∈ IN_{0}, 0 ≤ α, β ≤ 1, l + β < k + α . Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) C^{k,α}(\overline{Ω}) ist ein Banachraum.

(ii) Die Einbettung C^{k+1,0}(Ω) ↪ C^{k,1}(Ω) ist stetig. (Hinweis: Zeigen Sie unter Verwendung des Lipschitzrandes, daß zwei Punkte in x, y ∈ Ω durch einen glatten Weg in Ω mit Länge L ≤ C(Ω)|x − y| verbunden werden können.)

(iii) Zu ε > 0 gibt es eine Konstante C_{ε}(k, l, α, β) < ∞ mit

∥ u ∥_{C^{l,β}(Ω)}≤ ε ∥ u ∥_{C^{k,α}(Ω)} +C_{ε} ∥ u ∥_{C^{0}(Ω)}

für u ∈ C^{k,α}(Ω) .

(Hinweis: Zeigen Sie die Behauptung zuerst für k = l = 0 und dann für k = l = 1 und β = 0 . Beachten Sie für den zweiten Fall, daß |∇u(x_{0})| ≥ ε zusammen mit ∥ ∇u ∥_{C^{0,α}(Ω)}≤ 1 eine Oszillation von mindestens c_{0}(ε) für u impliziert.)

(iv) Die Einbettung C^{k,α}(Ω) ↪ C^{l,β}(Ω) ist kompakt.

\underline{AUFGABE 2:} (Lokale Abschätzungen) Zeigen Sie für u ∈ C^{2,α}(B_{2}(0)), 0 < α < 1 , daß

∥ u ∥_{C^{2,α}(B_{1}(0))}≤ C(∥ Δu ∥_{C^{0,α}(B_{2}(0))} + ∥ u ∥_{C^{1,α}(B_{2}(0))}).

(Hinweis: Betrachten Sie uη mit einer geeigneten Abschneidefunktion η , und wenden Sie die Ganzraumabschätzung der Vorlesung und Aufgabe 1 (iii) an.)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 26.4.1999, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.