MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 26.4.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen II SS 1999 2.Übung

\underline{AUFGABE 3:} (Parabolische Abschätzung mit Rand und Anfangswerten) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} eine offene Menge mit C^{2,α}−Rand, 0 < α < 1 , und Ω_{T} := Ω×]0, T [ . Weiter seinen u, φ ∈ H^{2+α,1+ \frac{α}{2}} (Ω_{T}) und f ∈ H^{α, \frac{α}{2}} (Ω_{T}) mit

∂_{t}u − Δu = f in Ω_{T} ,
u = φ auf (Ω × {0}) ∪ ((∂Ω) × [0, T]).

Dann gilt

[D^{2,1}u]_{α, \frac{α}{2}} ≤ C([f]_{α, \frac{α}{2}} + [D^{2,1}φ]_{α, \frac{α}{2}} ),

wobei C nur von Ω und α abhängt. \underline{AUFGABE 4:} (Elliptische C^{1,α}−Abschätzung) Es seinen u ∈ (C^{2} ∩ C^{1,α})(IR^{n}), f ∈ (C^{1} ∩ C^{0,α})(IR^{n}, IR^{n}) und g ∈ (C^{0} ∩ L^{p})(IR^{n}) , wobei 0 < α < 1 und p := \frac{n}{1−α} , die

Δu = (div f) + g in IR^{n}

erfüllen. Dann gilt

[u]_{1+α} ≤ C([f]_{α}+ ∥ g ∥_{L^{p}(IR^{n})}),

wobei C nur von n und α abhängt.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 3.5.1999, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.