MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 3.5.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen II SS 1999 3.Übung

\underline{AUFGABE 5:} (Biharmonische Gleichung) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} mit C^{4,α}−Rand, 0 < α < 1 . Weiter seien ψ ∈ C^{4,α}(Ω), φ ∈ C^{2,α}(Ω) und f ∈ C^{0,α}(Ω) . Zeigen Sie, daß es genau eine Lösung u ∈ C^{4,α}(Ω) der biharmonischen Gleichung, d.h.

Δ^{2}u = f in Ω,
u = ψ auf ∂Ω,
Δu = φ auf ∂Ω,

gibt. Zeigen Sie weiter, daß

∥ u ∥_{C^{4,α}(Ω)}≤ C(∥ f ∥_{C^{0,α}(Ω)} + ∥ ψ ∥_{C^{4,α}(Ω)} + ∥ φ ∥_{C^{2,α}(Ω)}),

mit einer von f, ψ, φ unabhängigen Konstanten C . Was läßt sich sagen, wenn die zweite Randbedingung durch ∂_{ν}u = φ ersetzt wrid ? (Hinweis: Verwenden Sie eine C^{4,α}−Abschätzung für Lösungen der Laplace-Gleichung mit rechter Seite in C^{2,α} .) \underline{AUFGABE 6:} (Fredholmoperatoren) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} mit C^{2,α}−Rand, 0 < α < 1 . Weiter seien a_{ij}, b_{i}, c ∈ C^{0,α}(Ω) mit a_{ij}ξ_{i}ξ_{j} ≥ c_{0}|ξ|^{2} für ξ ∈ IR^{n} und gegebenes c_{0} > 0 . Wir betrachten den linearen Differentialoperator L : C^{2,α}(Ω) ∩ {u|_{∂Ω} = 0} → C^{0,α}(Ω) mit

Lu := a_{ij}∂_{ij}u + b_{i}∂_{i}u + cu.

Zeigen Sie, daß L endlichen Kern und ein abgeschlossenes Bild hat. (Hinweis: Verwenden Sie, daß L ein Isomorphismus für c ≤ 0 ist, und schreiben Sie L = L_{0} − C , wobei L_{0} ein Isomorphismus ist und C ein kompakter Operator ist.)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 10.5.1999.