MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 10.5.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen II SS 1999 4.Übung

\underline{AUFGABE 7:} (Monge-Ampère-Gleichung)

(i) Wir betrachten für u ∈ C^{2} strikt konvex und D^{2}u > 0 die Monge-Ampère-Gleichung

det(D^{2}u) = f.

Zeigen Sie, daß diese Gleichung strikt elliptisch in einer C^{2}−Umgebung von u ist und daß die Abbildung A ↦ log( det(A)) konkav auf dem Raum der symmetrischen, positiv-definiten Matrizen ist.

(ii) Nun sei Ω ⊂⊂ IR^{n} offen mit C^{2,α}−Rand und Ω_{T} := Ω×]0, T [ für T > 0 . Weiter sei u_{0} ∈ C^{2,α}(\overline{Ω}) strikt konvex und f ∈ C^{0,0,α}(\overline{Ω_{T}}) mit −det(D^{2}u_{0}) = f auf ∂Ω×\{0\} . Zeigen Sie, daß eine eindeutige, in der Zeit lokale Lösung der parabolischen Monge-Ampère Gleichung

∂_{t}u − det(D^{2}u) = f in Ω_{T} ,
u = 0 auf (∂Ω) × [0, T],
u = u_{0} in Ω × {0}

existiert.

\underline{AUFGABE 8:} (Semi-lineare parabolische Gleichung) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} offen mit C^{2,α}−Rand und Ω_{T} := Ω×]0, T [ für T > 0 . Weiter seien a_{ij}, b_{i}, c, f ∈ C^{0,0,α}(\overline{Ω_{T}}) mit f = 0 auf ∂Ω × \{0\} und a_{ij}ξ_{i}ξ_{j} ≥ c_{0}|ξ|^{2} für ξ ∈ IR^{n} und gegebenes c_{0} > 0 und g ∈ C^{2}(IR), g(0) = 0 . Zeigen Sie, daß für kleines ε das parabolische Randwertproblem

∂_{t}u − a_{ij}∂_{ij}u + b_{i}∂_{i}u + cu = f + εg(u) in Ω_{T} ,
u = 0 auf ((∂Ω) × [0, T]) ∪ Ω × {0}

eine eindeutige Lösung besitzt. \underline{AUFGABE 9:} (Nicht-lineares Maximumprinzip) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} offen, Ω_{T} := Ω×]0, T [ für T > 0 und F : \overline{Ω_{T}} ×IR×IR^{n} ×IR^{n×n} → IR ein nicht-linearer, glatter, elliptischer Differentialoperator. Insbesondere ist ∂_{p_{ij}}F positiv definit. Nun seien u, v ∈ C^{2,1}(\overline{Ω_{T}}) Unter- bzw. Oberlösungen von

∂_{t}u − F (., ., u, Du, D^{2}u) ≤ 0 in Ω_{T} ,
∂_{t}v − F (., ., v, Dv, D^{2}v) > 0 in Ω_{T} ,
u ≤ v auf ((∂Ω) × [0, T]) ∪ Ω × {0}.

Zeigen Sie u ≤ v .

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 17.5.1999.