MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 17.5.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen II SS 1999 5.Übung

\underline{AUFGABE 10:} (Maximale Regularität von Lösungen) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n}, n ≥ 2, mit C^{∞}−Rand und φ ∈ C^{∞}(\overline{Ω}) . Es sei u ∈ H^{1,2}(Ω) eine schwache Lösung von

−Δu = (1 + |Du|^{2})^{s/2} in Ω,
u = φ auf ∂Ω.

Zeigen Sie, daß u ∈ C^{∞}(\overline{Ω}) , wenn 1 ≤ s < 1 + \frac{2}{n} . \underline{AUFGABE 11:} (Existenz mit Ober- und Unterlösungen) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} mit C^{2,α}−Rand, 0 < α < 1 . Weiter seien f ∈ C^{1}(IR), φ ∈ C^{2,α}(Ω) und a_{ij}, b_{i}, c ∈ C^{0,α}(Ω) mit a_{ij}ξ_{i}ξ_{j} ≥ c_{0}|ξ|^{2} für ξ ∈ IR^{n} und gegebenes c_{0} > 0 . Wir betrachten die semilineare, elliptische Gleichung

\begin{matrix}Lu := −a_{ij}∂_{ij}u + b_{i}∂_{i}u + cu = f(u) in Ω, \\ u = φ auf ∂Ω. \end{matrix}

Weiter seien u^{±} ∈ C^{2,α}(\overline{Ω}) Ober- bzw. Unterlösungen, d.h.

\begin{matrix}Lu^{±} ≥ (≤)f(u^{±}) in Ω, \\ u^{±} = φ auf ∂Ω. \end{matrix}

Begründen Sie, warum für u^{−} ≤ u ≤ u^{+} die Annahmen c ≥ 0, f′ ≥ 0 gerechtfertigt sind. Wir betrachten die rekursiv definierte Folge u_{0} := u^{−}, Lu_{k} := f(u_{k−1}), u_{k} = φ auf ∂Ω . Zeigen Sie, daß u_{k} beschränkt in C^{2,α}(\overline{Ω}) ist und monoton in C^{2}(\overline{Ω}) gegen eine Lösung u^{−} ≤ u ≤ u^{+} konvergiert. (Hinweis: Verwenden Sie die Schauder-Abschätzung und Interpolation.)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 31.5.1999.