MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 31.5.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen II SS 1999 6.Übung

\underline{AUFGABE 12:} (Niveau-Linien) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} offene Menge von der Form Ω := U − \overline{V} , wobei U, V offen und sternförmig bezüglich 0 sind. Wir betrachten die Lösung der elliptischen Gleichung

Δu = 0 in Ω,
u = 0 auf ∂U,
u = 1 auf ∂V.

Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) v(x) := \frac{d}{dμ}u(μ x) = Du(x)x ist eine harmonische Funktion auf Ω mit v ≤ 0 auf ∂Ω und der strikten Ungleichung in Ω .

(ii) Es sei Γ_{λ} := {x ∈ Ω | u(x) = λ } , für 0 < λ < 1 . Dann gilt xν(x) > 0 für x ∈ Γ_{λ} und wobei ν(x) die Normale an Γ_{λ} in Richtung fallender Werte von u ist.

(iii) V ∪ [u > λ] ist sternförmig bezüglich 0.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 7.6.1999.