MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 7.6.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen II SS 1999 7.Übung

\underline{AUFGABE 13:} (Eingebettete H-Flächen) Wir betrachten eine eingebettete, glatte, kompakte, orientierte Hyperfläche Σ im IR^{n} . Die mittlere Krümmung sei konstant H_{0} , d.h. H⃗_{Σ} = −H_{0}ν , wobei ν die orientierte Einheitsnormale ist. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Wir nehmen an, daß Σ in der Umgebung eines Punktes der Graph einer Funktion φ über IR^{n−1} × {0} ist, wobei die orientierte Normale nach oben zeigt. Dann erfüllt φ folgende quasi-lineare elliptische Differentialgleichung

∇(\frac{∇φ}{\sqrt{1 + |∇φ|^{2}}} ) = H_{0}.

(ii) Wir betrachten nun zwei Graphen wie in (i). Falls diese sich in einem inneren Punkt berühren, so sind sie identisch.

(iii) Wir betrachten nochmals zwei Graphen wie in (i), die übereinanderliegen und in einem Randpunkt samt Tangentialebene übereinstimmen. Dann sind die Graphen wieder identisch.

(iv) Wir betrachten Σ und eine beliebige Hyperebene P_{λ} , die vom Unendlichen aus mit Parameter λ parallel verschoben wird, bis diese Σ zum ersten mal bei λ_{0} trifft. Nun wird P_{λ_{0}} weiter parallel verschoben. P_{λ} zerteilt Σ in zwei offene Teile Σ_{λ,+} und Σ_{λ,−} . Der Teil Σ_{λ,+} , der den Berührpunkt enthält wird an P_{λ} gespiegelt, und wir erhalten Σ̃_{λ,+} . Für λ = λ_{0} + δ, δ klein, sind Σ̃_{λ,+} und Σ_{λ,−} disjunkt.

(v) Wir betrachten

λ_{1} := sup{t > λ_{0} | Σ̃_{λ,+} und Σ_{λ,−} sind disjunkt für λ_{0} < λ < t }.

Σ̃_{λ_{1},+} und Σ_{λ_{1},−} haben mindestens einen gemeinsamen Punkt in ihren Abschlüssen, der wie in (ii) oder (iii) ist.

(vi) Es gilt

Σ̃_{λ_{1},+} = Σ_{λ_{1},−}.

(vii) Satz von Alexandroff: Σ ist eine Sphäre.

(Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis, daß eine Hyperfläche, die in jeder Richtung spiegelsymmetrisch ist, eine Sphäre ist.)

\underline{AUFGABE 14:} ( L^{p}−Normen) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} offen und |u|^{p} ∈ L^{1}(Ω) für ein p ∈ IR . Zeigen Sie, daß

lim_{p→+∞}(\frac{1}{|Ω|} ∫_{Ω} |u|^{p}dx)^{\frac{1}{p}} =∥ u ∥_{L^{∞}(Ω)},

lim_{p→0}(\frac{1}{|Ω|} ∫_{Ω} |u|^{p}dx)^{\frac{1}{p}} = exp(\frac{1}{|Ω|} ∫_{Ω} log(|u|)dx).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 21.6.1999.