MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 21.6.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen II SS 1999 8.Übung

\underline{AUFGABE 15:} Es sei u ∈ C^{1}(IR^{n} × [0, T)), n ≥ 3 eine ZZ^{n}−periodische, nichtnegative Lösung von ∂_{t}u − Δu ≤ 0 . Zeigen Sie für Ω :=]0, 1[^{n}⊆ IR^{n} und 0 < τ ≤ 1 , daß

sup_{Ω} u(., τ) ≤ C(n)τ^{−n/4} ∥ u(., 0) ∥_{L^{2}(Ω)} .

(Hinweis:

(a) Testen Sie mit w := u^{1+α} für α ≥ 0 und zeigen Sie

0 ≤ ∫_{Ω×\{t\}} |Dw|^{2} ≤ −\frac{2 + α}{4(1 + α)}∂_{t} ∫_{Ω×\{t\}} w^{2},

wobei w := u^{1+α/2} .

(b) Integrieren Sie von t_{1} bis t_{2} und verwenden Sie die Monotonie von ∫_{Ω×{t}} w^{2} , die

aus (a) folgt, und eine Sobolev-Einbettung, um

( ∫_{Ω×\{t_{2}\}} w^{2κ})^{1/κ} ≤ \frac{C(n)}{t_{2} − t_{1}} ∫_{Ω×\{t_{1}\}} w^{2}

zu erhalten.

(c) Iterieren Sie schließlich mit 1 + α/2 = κ^{ν}, t_{ν} = (1 − 2^{−ν})τ für ν ∈ IN_{0} .)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 28.6.1999.