MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 28.6.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen II SS 1999 9.Übung

\underline{AUFGABE 16:} (Harnack-Ungleichung) Es sei u eine Lösung von

∂_{i}(a_{ij}∂_{j}u) = 0 auf IR^{n},  (1)

wobei a_{ij}ξ_{i}ξ_{j} ≥ μ|ξ|^{2} für ξ ∈ IR^{n} und ein μ > 0 . Weiter sei

M(r) := max_{|x|=r} u(x), und m(r) := min_{|x|=r} u(x).

Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) M ist nichtfallend, und m ist nichtwachsend.

(ii) Es gilt

M(r) − m(r) ≥ c_{0}r^{α} − C

mit c_{0}, α > 0, C < ∞ , falls u nicht konstant ist.

(iii) Falls u beschränkt ist, so ist u konstant.

\underline{AUFGABE 17:} (Minimalflächen) Es sei Σ = graph(u) eine Minimalfläche, wobei u glatt auf IR^{n} definiert ist. Die Steigung der Tangentialebene von Σ sei beschränkt, d.h. u erfüllt eine globale Lipschitzbedingung. Zeigen Sie, daß u linear ist.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 5.7.1999.