MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 30. Oktober 2000 T. Müller

Wellengleichungen WS 2000/01 Übungsblatt 1

\underline{AUFGABE 1:} Beweisen Sie, daß durch die in der Vorlesung hergeleiteten Formeln Lösungen des Cauchyproblems gegeben sind.

\underline{AUFGABE 2:}

a) Zeigen Sie, daß für n = 3 die allgemeine Lösung von −c^{2}Δ + u_{tt} = 0 mit sphärischer Symmetrie die Form

u = \frac{F (r + ct) + G(r − ct)}{r}, r = |x|

hat mit geeigneten F, G.

b) Zeigen Sie, daß die Lösung mit Anfangsdaten der Form

u = 0, u_{t} = g(r)

(g = gerade Funktion von r) gegeben ist durch

u = \frac{1}{2cr} ∫_{r−ct}^{r+ct} ρg(ρ)dρ.

c) Finden Sie für

g(r) = \{ \begin{matrix}1 & für & 0 < r < a \\ 0 & für & r > a \end{matrix}

u explizit in den verschiedenen Gebieten, die durch die Kegel r = a+ct und r = a−ct im xt-Raum gegeben sind. Zeigen Sie, daß u unstetig ist in (0, a/c); (beachten Sie die Unstetigkeit von u_{t} in t = 0, |x| = a).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 06.11.1999.