Übungsaufgaben zur Analysis I WS 01/02, Serie 1 Prof. Dr. E. Kuwert 15. Oktober 2001

Aufgabe 1 (Logisches Schließen) Verneinen Sie folgende Aussagen:

a) Zu jedem Vorschlag gibt es jemanden, der den Vorschlag kritisiert.
b) Keine Regel ohne Ausnahme.
c) In manchen Häusern haben nicht alle Wohnungen fließendes Wasser.

Warum ist die Aussage b) in sich widersprüchlich?

Aufgabe 2 (Ungleichungen) Beweisen Sie für a, b ∈ ℝ und ε > 0 die Ungleichung

ab ≤ εa^{2} + \frac{1}{4ε}b^{2}.

Wann gilt Gleichheit?

Aufgabe 3 (Induktion) In der Vorlesung wurden die Binomialkoeffizienten eingeführt, und zwar ist für α ∈ ℝ and k ∈ ℕ nach Definition

( \begin{matrix}α \\ k \end{matrix} ) := ∏_{j=1}^{k} \frac{α − j + 1}{j}, sowie ( \begin{matrix}α \\ 0 \end{matrix} ) := 1.

Zeigen Sie durch Induktion die Formel

∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}α + k \\ k \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α + n + 1 \\ n \end{matrix} ) .

Aufgabe 4 (Induktion) Beweisen Sie für n ≥ 2 die Ungleichung n! < n^{n} .

Spielecke In einem Quadrat der Fläche Eins seien sieben Punkte gegeben, die zusammen mit den Ecken des Quadrats die Menge E bilden. Zeigen Sie, dass bei jeder Zerlegung des Quadrats in Dreiecke (Triangulierung) mit Ecken in E eines mit Fläche höchstens 1/16 vorkommt. Lassen sich die Punkte so anordnen, dass in jeder Triangulierung alle Dreiecke mindestens so groß sind?

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 22.10.2001 bis 10:15.