Übungsaufgaben zur Analysis I WS 01/02, Serie 11 Prof. Dr. E. Kuwert 10. Januar 2002

Aufgabe 1 (Differentiationsregeln) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen (mit Angabe des Definitionsbereichs):

(a) f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}  (a, b, c, d ∈ ℝ, c ≠ 0),
(b) f(x) = x^{α} log(x) (α ∈ ℝ),
(c) f(x) = Arsinh(x) (vgl. Aufgabe 2, Serie 10).

Aufgabe 2 (Kettenregel) Differenzieren Sie die beiden Funktionen f : (0, ∞) → ℝ:

\begin{matrix}(a) & f(x) = x^{(x^{x})} \\ (b) & f(x) = (x^{x})^{x}. \end{matrix}

Aufgabe 3 (Definition der Ableitung) Sei g : (−a, a) → ℝ eine beschränkte Funktion. Zeigen Sie, dass die Funktion

f : (−a, a) → ℝ, f(x) = |x|^{1+α} g(x)

im Punkt x = 0 die Ableitung f′(0) = 0 hat, falls α > 0 ist.

Aufgabe 4 (Brechungsgesetz von Snellius) Der Triathlet aus Beispiel 4.1 will einen Punkt (x, 0) ∈ ℝ^{2} am Ufer ansteuern, so dass seine Gesamtzeit

f(x) = \frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}} = \frac{1}{v_{1}} \sqrt{(x − x_{1})^{2} + y_{1}^{2}} + \frac{1}{v_{2}} \sqrt{(x − x_{2})^{2} + y_{2}^{2}}

minimiert wird. Begründen Sie, dass es (mindestens) einen optimalen Punkt gibt, und leiten Sie für diesen eine Gleichung her.

Aufgabe 5 (Differentiation von bilinearen Termen) Die Abbildung B : ℝ^{m} × ℝ^{n} → ℝ^{p}, (u, v) ↦ B(u, v), sei bilinear, das heißt für u_{1}, u_{2}, u ∈ ℝ^{m}, v_{1}, v_{2}, v ∈ ℝ^{n} und λ_{1}, λ_{2}, μ_{1}, μ_{2} ∈ ℝ gilt

B(λ_{1}u_{1} + λ_{2}u_{2}, v) = λ_{1} B(u_{1}, v) + λ_{2} B(u_{2}, v),
B(u, μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2}) = μ_{1} B(u, v_{1}) + μ_{2} B(u, v_{2}).

Zeigen Sie für differenzierbare f : (a, b) → ℝ^{m}, g : (a, b) → ℝ^{n} die Produktregel

B(f, g)′ = B(f′, g) + B(f, g′).

Schreiben Sie die Regel in folgenden Spezialfällen auf:

1. B(u, v) = ⟨u, v⟩ (Standardskalarprodukt auf ℝ^{n}),

2. B(u, v) = uv (komplexe Multiplikation auf ℝ^{2}),

3. B(u, v) = u × v (Kreuzprodukt auf ℝ^{3}),

4. B(u, v) = uv (Produkt der Matrizen u und v). Es gibt im Moment zu viele Pflichtaufgaben, daher diesmal keine Spielecke. Wie üblich kommen (höchstens) vier der fünf Aufgaben zur Anrechnung (= maximal 16 Punkte). Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 14.1.2002 bis 10:15.