Übungsaufgaben zur Analysis I WS 01/02, Serie 12 Prof. Dr. E. Kuwert 15. Januar 2002

Aufgabe 1 (Hebbarer Punkt für f′) Sei D ⊂ ℝ offen. Die Funktion f : D → ℝ sei im Punkt x_{0} ∈ D stetig, auf D\{x_{0}} differenzierbar und es gelte lim_{x→x_{0}} f′(x) = a. Zeigen Sie mit dem Mittelwertsatz f′(x_{0}) = a.

Aufgabe 2 (Eine Abschneidefunktion) Betrachten Sie die Funktion

f(x) = \begin{cases}e^{−1/x} & für x > 0, \\ 0 & für x ≤ 0. \end{cases}

Zeigen Sie durch Induktion, dass für geeignete Polynome p_{n} gilt:

f^{(n)}(x) = \begin{cases}p_{n}(\frac{1}{x}) e^{−1/x} & für x > 0 \\ 0 & für x ≤ 0. \end{cases}

Anmerkung: f ist also unendlich oft differenzierbar. Ist g ∈ C^{k}(ℝ) für k ∈ ℕ∪{∞}, so gilt fg = 0 auf (−∞, 0] und fg ∈ C^{k}(ℝ) (g wird glatt ,,abgeschnitten”).

Aufgabe 3 (Maximumprinzip) Sei f : [a, b] → ℝ stetig und zweimal differenzierbar auf (a, b). Falls f′′ ≥ 0, so gilt sup f ≤ max{f(a), f(b)}. Hinweis: Beweisen Sie die Aussage zunächst unter der Voraussetzung f′′ ≥ ε > 0. Diese Zusatzannahme werden Sie wieder los, indem Sie f + εq mit einer geeigneten Hilfsfunktion q betrachten.

Aufgabe 4 (Kurvendiskussion) Die Funktion

χ(r) = e^{−r/r_{B}} (\frac{r}{r_{B}} )^{2} (1 − \frac{r}{2r_{B}} )^{2} (r ≥ 0)

tritt beim Wasserstoffatom auf (radiale Wahrscheinlichkeitsdichte im Zustand n = 2, l = 0). Diskutieren Sie χ(r) im Bezug auf Monotonie und Extremwerte. (r_{B} ≈ 5 · 10^{−9} cm ist der Bohrsche Radius.)

Spielecke. Sei f : [a, b] → ℝ stetig. Für x ∈ (a, b) und hinreichend kleine h ∈ ℝ ist der Differenzenquotient wie folgt definiert:

(Δ_{h}f)(x) = \frac{f(x + h) − f(x)}{h}.

Berechnen Sie den zweiten Differenzenquotienten Δ_{−h}(Δ_{h}f)(x) und zeigen Sie: ist lim_{h→0} Δ_{−h}(Δ_{h}f)(x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b), so folgt

f(x) ≤ f(a) + \frac{f(b) − f(a)}{b − a} (x − a).

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 21.1.2002 bis 10:15.