Übungsaufgaben zur Analysis I WS 01/02, Serie 13 Prof. Dr. E. Kuwert 21. Januar 2002

Aufgabe 1 (Polardarstellung) Rechnen Sie für z = x + iy ∈ ℂ\{0} die Gleichung z = r e^{iϑ} nach, wenn r und ϑ wie folgt definiert sind:

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, ϑ = \begin{cases}arccos \frac{x}{r} & für y ≥ 0 \\ 2π − arccos \frac{x}{r} & für y < 0. \end{cases}

Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in der Form r e^{iϑ}: −3, 4i, −5i, −e^{2i}, i e^{it}(t ∈ ℝ), 1 + i, −1 − i, (1 + i)^{2001}.

Aufgabe 2 (Tangens) Die Funktion tan : ℝ\\{\frac{π}{2} + kπ : k ∈ ℤ\} → ℝ, tan t = \frac{sin t}{cos t}, heißt Tangens. Zeigen Sie:

a) tan(t + π) = tan t für alle t ∈ ℝ.
b) tan bildet (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) bijektiv auf ℝ ab.

Die Umkehrfunktion heißt arctan (Arcus tangens).

c) arctan ist differenzierbar und arctan′(x) = \frac{1}{1+x^{2}} .

Aufgabe 3 (zur Funktionalgleichung) Berechnen Sie mittels der Eulerschen Formel die Summen

∑_{k=0}^{n} cos kt und ∑_{k=0}^{n} sin kt (t ∉ 2πℤ).

Aufgabe 4 (Anfangswertproblem) Für eine reelle 2 × 2-Matrix A und z_{0} ∈ ℝ^{2} betrachten wir das Anfangswertproblem

c′(t) = A c(t) für t ∈ ℝ, c(0) = z_{0} (∗)

für eine differenzierbare Funktion c : ℝ ⟶ ℝ^{2}.

a) Bestimmen Sie die Lösung im Fall

A = ω (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), wobei ω ∈ ℝ\\{0\}.

b) Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem (∗) höchstens eine Lösung hat.

Hinweis: Bilden Sie die Differenz c = c_{1} − c_{2} von zwei Lösungen und berechnen Sie \frac{d}{dt}|c|^{2}.

Spielecke. Zeigen Sie, dass die Punkte e^{ik \frac{2π}{n}} für k ∈ \{0, 1, …, n−1\} ein regelmäßiges n-Eck bilden, mit Umfang L_{n} = 2n| sin \frac{π}{n}| → 2π. Zeichnen Sie für n = 6.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 28.1.2002 bis 10:15.