Übungsaufgaben zur Analysis I WS 01/02, Serie 14 Prof. Dr. E. Kuwert 7. Februar 2002

Aufgabe 1 (Berechnung des Integrals mit Riemannschen Summen) Berechnen Sie für a > 1 das Integral

∫_{1}^{a} log x dx.

Hinweis: Verwenden Sie die Unterteilungspunkte x_{k} = a^{k/N} für k = 0, 1, …, N.

Aufgabe 2 (Integral als Funktion der oberen Grenze) Die Funktion f : [a, b] → ℝ sei Riemann-integrierbar. Zeigen Sie, dass die Funktion

F : [a, b] → ℝ, F (x) = ∫_{a}^{x} f(ξ) dξ

Lipschitzstetig ist.

Aufgabe 3 (Integralnorm) Sei I ⊂ ℝ ein kompaktes Intervall. Beweisen Sie, dass durch

|| · ||_{1} : C^{0}(I) → ℝ, ||f||_{1} = ∫_{a}^{b} |f|

eine Norm definiert ist. Ist || · ||_{1} auch eine Norm auf dem Raum R(I)?

Aufgabe 4 (Gleichmäßige Konvergenz) Prüfen Sie auf gleichmäßige Konvergenz, sowie auf gleichmäßige Konvergenz der Ableitungsfunktionen:

(a) f_{n}(x) = \frac{sin(nx)}{n} auf I = [−π, π],

(b) f_{n}(x) = n log(1 + x/n) − x auf I = [0, 100].

Spielecke (zur Deltafunktion). Sei g ∈ C^{0}(ℝ) nichtnegativ mit g(x) = 0 für |x| ≥ 1 und ∫_{ℝ} g = 1. Für ε > 0 definieren wir die Abbildungen

δ_{ε} : C^{0}(ℝ) → ℝ, δ_{ε}(f) = ∫_{ℝ} g_{ε}(x) f(x) dx, w obei g_{ε}(x) = \frac{1}{ε} g(\frac{x}{ε}).

Zeigen Sie lim_{ε↘0} δ_{ε}(f) = f(0) für alle f ∈ C^{0}(ℝ). Überlegen Sie weiter, ob es eine stetige Funktion g_{0} : ℝ → ℝ geben kann mit ∫_{ℝ} g_{0}(x) f(x) dx = f(0) für alle f ∈ C^{0}(ℝ).

Aufgrund Klausurvorbereitung wird diesmal nur die Bearbeitung von zwei der fünf Aufgaben erwartet (= 8 Punkte), wobei aber wie üblich 16 Punkte möglich sind! Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 4.2.2002 bis 10:15.