Übungsaufgaben zur Analysis I WS 01/02, Serie 15 Prof. Dr. E. Kuwert 7. Februar 2002

Aufgabe 1 (Flächeninhalt der Ellipse) Berechnen Sie den von einer Ellipse mit Halbachsen a, b > 0 eingeschlossenen Flächeninhalt, also den Flächeninhalt der Menge

E = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} ≤ 1\} ⊂ ℝ^{2}.

Aufgabe 2 (Substitutionsregel) Berechnen Sie dir folgenden Integrale:

(a) ∫_{π/3}^{2π/3} \frac{dt}{sin t} (Substitution x = tan \frac{t}{2}).

(b) ∫_{1}^{a} cos (log x) dx (a > 1).

(c) ∫_{1}^{4} e^{\sqrt{x}} dx.

Aufgabe 3 (Substitutionsregel) Bestimmen Sie alle Stammfunktionen der Funktion

f(x) = \frac{1}{x^{2} + px + q} ,

mit einer Fallunterscheidung je nach Vorzeichen von D = p^{2} − 4q. Aufgabe 4 (Integral als Funktion der oberen Grenze) Sei f ∈ C^{0}(I) mit I = (a, b) offen. Wir betrachten die Funktion

Φ : I → ℝ, Φ(t) = ∫_{a(t)}^{b(t)} f(x) dx,

wobei a : I^{∗} → I und b : I^{∗} → I differenzierbar sind. Begründen Sie die Differenzierbarkeit von Φ und berechnen Sie die Ableitung.

Aufgabe 5 (Partielle Integration) Für u, v ∈ C^{0}([−π, π] definieren wir ⟨u, v⟩ := ∫_{−π}^{π} uv ∈ ℝ. Überlegen Sie, dass ⟨·, ·⟩ die Eigenschaften eines Skalarprodukts besitzt (siehe Kapitel 1, Lemma 5.4). Berechnen Sie weiter die Skalarprodukte ⟨u_{k}, u_{l}⟩, ⟨v_{k}, v_{l}⟩ sowie ⟨u_{k}, v_{l}⟩ (k, l ∈ ℤ) für

u_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} cos kx und v_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} sin kx (k ∈ ℤ).

Aufgabe 6 (Partielle Integration) Bestätigen Sie durch vollständige Induktion die Formel

∫_{0}^{1} x^{k} (1 − x)^{n−k} dx = \frac{1}{(n + 1) \binom{n}{k}} (n ∈ ℕ_{0}, 0 ≤ k ≤ qn).

Dies ist der letzte Zettel, der in die Bewertung eingeht. Es sind vier der sechs Aufgaben zu bearbeiten und maximal 16 Punkte zu erzielen (wie üblich). Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 11.2.2002 bis 10:15.