Übungsaufgaben zur Analysis I WS 01/02, Serie 4 Prof. Dr. E. Kuwert 5. November 2001

Aufgabe 1 (Potenzrechnung)

a) Zeigen Sie, dass a > \sqrt{a} > \sqrt[3]{a} > … > 1 für a > 1, und a < \sqrt{a} < \sqrt[3]{a} < … < 1 für 0 < a < 1.

b) Sei x > 0 und q = k/m ∈ ℚ mit k ∈ ℤ, m ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass durch x^{q} := \sqrt[m]{x^{k}} die rationalen Potenzen von x wohldefiniert sind (also nicht von der Darstellung von q als Bruch abhängen). Beweisen Sie weiter für x, y > 0 und q, r ∈ ℚ die Regeln

(i) x^{q}x^{r} = x^{q+r} (ii) (x^{q})^{r} = x^{qr} (iii) x^{q}y^{q} = (xy)^{q}.

Aufgabe 2 (Wallis-Produkt) Zeigen Sie die Konvergenz des unendlichen Produkts

∏_{n=1}^{∞} \frac{4n^{2}}{4n^{2} − 1} = \frac{2 · 2}{1 · 3} · \frac{4 · 4}{3 · 5} · . . .

Aufgabe 3 (Grenzwert einer rekursiven Folge) Betrachten Sie die durch x_{1} = a, x_{n+1} = x_{n}^{2} + a rekursiv definierte Folge, wobei a ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass die Folge für a ∈ [0, 1/4] konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert. Aufgabe 4 (Mehrdeutigkeit der Dezimalbruchdarstellung) Wann stellen zwei unendliche Dezimalbrüche k_{0}, k_{1}k_{2} … und m_{0}, m_{1}m_{2} … dieselbe reelle Zahl dar? Spielecke Diesmal ist die Spielecke ganz praktisch. Es soll durch Grenzübergang der Stand eines Kreditkontos zur Zeit t ≥ 0 berechnet werden, und zwar bei kontinuierlicher Verzinzung und Tilgung. Grundlage ist, dass die finanzielle Belastung pro Zeiteinheit konstant bleibt. Mit dem jährlichen Zinssatz p und der jährlichen Anfangstilgungsrate r ist die Belastung pro Jahr

B = S_{0} (p + r) S_{0} = (Höhe des Kredits).  (1)

Es bezeichne S_{k} den Kontostand zur Zeit t_{k} = \frac{k}{n} t für k ∈ \{0, 1, …, n\}. Begründen Sie die Formel

S_{k} = S_{0} [1 + \frac{r}{p} (1 − (1 + \frac{pt}{n})^{k})]  (2)

und schließen Sie durch Grenzübergang

S(t) = S_{0} [1 + \frac{r}{p} (1 − exp(pt))] .  (3)

Ermitteln Sie hieraus die Laufzeit und die Kosten des Kredits und berechnen Sie zum Beispiel für p = 0, 06, r = 0, 01 und r = 0, 02. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 12.11.2001 bis 10:15.