Übungsaufgaben zur Analysis I WS 01/02, Serie 5 Prof. Dr. E. Kuwert 12. November 2001

Aufgabe 1 (Folge mit vielen Häufungspunkten) Geben Sie eine Folge an, für die jedes x ∈ [0, 1] ein Häufungspunkt ist.

Aufgabe 2 (Cauchyfolgen: Definition) Weisen Sie jeweils anhand der Definition die Cauchyfolgen-Eigenschaft nach:

(i) a_{n} = 1 + \frac{(−1)^{n}}{n^{3}} , (ii) e_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}.

Hinweis: Bei der zweiten Folge Vergleich mit einer geometrischen Reihe.

Aufgabe 3 (Rechenregeln für lim sup) Für beschränkte Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} gilt:

(i)  lim sup_{n→∞} a_{n} = − lim inf_{n→∞}(−a_{n}),
(ii) lim sup_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) ≤ lim sup_{n→∞} a_{n} + lim sup_{n→∞} b_{n}.

Aufgabe 4 (Ein Konvergenzprinzip) Über die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} sei bekannt: es gibt ein a ∈ ℝ, so dass jede Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} von (a_{n})_{n∈ℕ} ihrerseits eine weitere Teilfolge (a_{n_{k_{l}}})_{l∈ℕ} besitzt, die gegen a konvergiert. Dann konvergiert schon die ganze Folge (a_{n})_{n∈ℕ} gegen a. Hinweis: Beweis durch Widerspruch.

Spielecke. Der Zeiger einer Uhr schreitet statt um Minuten oder Sekunden um einen gewissen Winkel 2π · x voran. Zeigen Sie: ist x rational, so hat der Zeiger nur endlich viele Positionen. Ist dagegen x irrational, so kommt der Zeiger jeder Stellung beliebig nahe.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 19.11.2001 bis 10:15.